Calcule a integral de superfície
é a proção da esfera
acima do plano
.
Passo 1
Então, vamos resolver uma integral de superfície! A questão pede para calcular a integral
, onde
. A superfície
é a parte da esfera
que está acima do plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície da esfera e usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
representa uma esfera com raio
centrada na origem. Como queremos a parte acima do plano
, estamos lidando com um “tampão” da esfera.
Passo 3
Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a esfera. Nas coordenadas esféricas, temos:
Aqui,
é o ângulo polar (medido do eixo
) e
é o ângulo azimutal.
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração. Como estamos acima do plano
, temos:
Então,
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 5
Agora, vamos expressar a função
nas coordenadas esféricas:
Passo 6
O elemento de área na esfera em coordenadas esféricas é dado por:
Como o raio
, temos:
Passo 7
Agora, a integral de superfície fica:
Simplificando:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em
. Seja
, então
. A integral fica:
Avaliando de
a
:
Passo 9
Agora, voltamos à integral completa:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.