Calcule a integral de superfície integral duplaS f(x, y, z) d S
f(x, y, z)=(x^2+y^2) z ; S é a proção da esfera x^2+y^2+z^2=4 acima do plano z=1.

Passo 1

Então, vamos resolver uma integral de superfície! A questão pede para calcular a integral integral duplaS f(x, y, z) , dS, onde f(x, y, z) = (x^2 + y^2) z. A superfície S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 que está acima do plano z = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície da esfera e usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. A equação x^2 + y^2 + z^2 = 4 representa uma esfera com raio 2 centrada na origem. Como queremos a parte acima do plano z = 1, estamos lidando com um “tampão” da esfera.

Passo 3

Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a esfera. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = 2 sin phi cos theta
y = 2 sin phi sin theta
z = 2 cos phi
Aqui, phi é o ângulo polar (medido do eixo z) e theta é o ângulo azimutal.

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração. Como estamos acima do plano z = 1, temos:
2 cos phi >= 1 implies cos phi >= 12 implies phi <= pi3
Então, phi varia de 0 a pi3 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Agora, vamos expressar a função f(x, y, z) nas coordenadas esféricas:
f(x, y, z) = (x^2 + y^2) z = (4 sin^2 phi) cdot 2 cos phi = 8 sin^2 phi cos phi

Passo 6

O elemento de área na esfera em coordenadas esféricas é dado por:
dS = r^2 sin phi , dphi , dtheta
Como o raio r = 2, temos:
dS = 4 sin phi , dphi , dtheta

Passo 7

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral0^pi3 8 sin^2 phi cos phi cdot 4 sin phi , dphi , dtheta
Simplificando:
= 32 integral0^2pi integral0^pi3 sin^3 phi cos phi , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em phi. Seja u = sin phi, então du = cos phi , dphi. A integral fica:
integral sin^3 phi cos phi , dphi = integral u^3 , du = u^44 = sin^4 phi4
Avaliando de 0 a pi3:
sin^4 ( pi3 )4 - 0 = ( raiz32 )^44 = 964

Passo 9

Agora, voltamos à integral completa:
32 cdot 2pi cdot 964 = 64pi cdot 964 = 9pi

Resposta

O valor da integral de superfície é 9pi.

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