Determine se o campo vetorial F(x, y, z) é livre de fontes e poços. Se não for, localize-os. E use o teorema da divergência para determinar o fluxo de F através da superfície S com orientação para fora.
F(x, y, z)=-G M raizx^2+y^2+z^2 / a^3 ; S é o conteúdo sólido da esfera de raio a, dendidade 1 , massa M=4 pi a^3 / 3, onde G é uma constante positiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial F(x, y, z) é livre de fontes e poços. Se não for, temos que localizar onde estão essas fontes e poços. Depois, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo desse campo através de uma superfície S, que aqui é o conteúdo sólido de uma esfera de raio a. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser livre de fontes e poços, calcular a divergência do campo, e aplicar o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser livre de fontes e poços. Um campo é livre de fontes e poços se a sua divergência é zero em todo o espaço. A divergência nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto, ou seja, se há fontes (onde o campo diverge) ou poços (onde o campo converge).

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo F(x, y, z) = -G M raizx^2+y^2+z^2a^3. Primeiro, identificamos que F é um campo radial, então podemos escrevê-lo na forma F = F(r) r, onde r = raizx^2+y^2+z^2 e r é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

A divergência em coordenadas esféricas para um campo radial F(r) é dada por:
nabla cdot F = 1r^2 ddr ( r^2 F(r) )
Vamos calcular isso para o nosso campo.

Passo 5

Substituindo F(r) = -G M ra^3 na expressão da divergência:
nabla cdot F = 1r^2 ddr ( r^2 ( -G M ra^3 ) ) = 1r^2 ddr ( -G M r^3a^3 )

Passo 6

Calculando a derivada:
ddr ( -G M r^3a^3 ) = -G M 3 r^2a^3
Então,
nabla cdot F = 1r^2 ( -G M 3 r^2a^3 ) = -G M 3a^3
Isso é constante e diferente de zero.

Passo 7

Como a divergência é diferente de zero, o campo F não é livre de fontes e poços. Isso significa que existem fontes ou poços onde o campo está “injetando” ou “retirando” fluxo. Como a divergência é negativa, interpretamos que há poços no campo.

Passo 8

Agora, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo de F através da superfície S, que é o conteúdo sólido da esfera de raio a. O teorema da divergência nos diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume dentro da superfície S.

Passo 9

Calculando o volume integral:
integral triplaV nabla cdot F , dV = nabla cdot F times Volume da esfera
Sabemos que o volume da esfera é 43 pi a^3, então:
- G M 3a^3 times 43 pi a^3 = - G M times 4 pi

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é -4 pi G M.

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