Determine se o campo vetorial
é livre de fontes e poços. Se não for, localize-os. E use o teorema da divergência para determinar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
é o conteúdo sólido da esfera de raio
, dendidade 1 , massa
, onde
é uma constante positiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial
é livre de fontes e poços. Se não for, temos que localizar onde estão essas fontes e poços. Depois, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo desse campo através de uma superfície
, que aqui é o conteúdo sólido de uma esfera de raio
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser livre de fontes e poços, calcular a divergência do campo, e aplicar o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser livre de fontes e poços. Um campo é livre de fontes e poços se a sua divergência é zero em todo o espaço. A divergência nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto, ou seja, se há fontes (onde o campo diverge) ou poços (onde o campo converge).
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. Primeiro, identificamos que
é um campo radial, então podemos escrevê-lo na forma
, onde
e
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
A divergência em coordenadas esféricas para um campo radial
é dada por:
Vamos calcular isso para o nosso campo.
Passo 5
Substituindo
na expressão da divergência:
Passo 6
Calculando a derivada:
Então,
Isso é constante e diferente de zero.
Passo 7
Como a divergência é diferente de zero, o campo
não é livre de fontes e poços. Isso significa que existem fontes ou poços onde o campo está “injetando” ou “retirando” fluxo. Como a divergência é negativa, interpretamos que há poços no campo.
Passo 8
Agora, vamos usar o teorema da divergência para calcular o fluxo de
através da superfície
, que é o conteúdo sólido da esfera de raio
. O teorema da divergência nos diz que:
Onde
é o volume dentro da superfície
.
Passo 9
Calculando o volume integral:
Sabemos que o volume da esfera é
, então:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.