A relação entre fertilidade da espiga fe emperatura do dossel x( ^circ C) no caso do arroz pode ser aproximada por f(x)=860.01-234.53 ln (x). Analise se a função é crescente ou decrescente, esboce o gráfico, considerando 26 <= x <= 39^circ C, calcule f^prime prime(28) e justifique seu significado.
R) f^prime(28)=-8.3761

Passo 1

O enunciado dá a função de fertilidade da espiga em função da temperatura do dossel:
f(x) = 860.01 ;-; 234.53,ln(x),
no intervalo 26 <= x <= 39.
Precisamos determinar se f é crescente ou decrescente, esboçar o gráfico nesse intervalo, calcular
f''(28)
e interpretar esse valor.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para estudar a monotonicidade. Como
ddxl[ln(x)r] = 1x,
temos
f'(x) = -234.53;1x
Para x>0, f'(x)<0, logo f é estritamente decrescente em todo o domínio considerado.

Passo 3

O esboço do gráfico de f em 26<= x<=39 é o de uma função logarítmica invertida (decaindo).
À medida que x aumenta, f(x) diminui, mas mais lentamente, pois o logaritmo cresce com taxa decrescente.

Passo 4

Agora calculamos a derivada segunda para estudar a concavidade:
f''(x) = ddxl[-234.53,x^-1r] = -234.53,(-1),x^-2 = 234.53x^2
Em x=28 isso vale
f''(28) = 234.5328^2 approx 234.53784 approx 0.2991

Passo 5

O valor f''(28)>0 indica que, mesmo sendo f decrescente, ela é côncava para cima em torno de x=28. Em termos práticos, isso significa que o ritmo de queda da fertilidade vai diminuindo à medida que a temperatura aumenta nessa vizinhança de 28^circC.

Resposta

A função é decrescente em [26,39], seu gráfico é o de um logaritmo invertido decaindo e achatando, e
f''(28)approx0.2991,
o que mostra concavidade para cima (a taxa de decréscimo da fertilidade diminui em torno de 28^circC).

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