Um estudo do meio ambiente de uma comunidade indica que existirão Q(p)=p^2+3 p+1200 unidades de substâncias poluindo o ar, quando a população for p milhares de habitantes. A população atual é de 30000 habitantes e está crescendo a uma taxa de 2000 habitantes por ano. De quanto o nível de ar poluído está aumentando, sabendo que a taxa de variação em relação ao tempo é dp / dt=2, sendo que o objetivo é calcular dQ/dt, quando p=30.
R) 126 unidades/ano.

Passo 1

O enunciado fornece a quantidade de poluentes
Q(p)=p^2+3p+1200
em unidades, quando a população for p milhares de habitantes. A população atual equivale a p=30 (ou seja, 30000 habitantes) e cresce a uma taxa
dpdt=2
(milhares de habitantes por ano). O objetivo é achar a taxa de variação do poluente em relação ao tempo, isto é, dQdt em p=30. Vamos usar derivadas e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando Q(p) em relação a p temos
dQdp=2p+3

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
dQdt=dQdpcdotdpdt=(2p+3)cdot2
Em p=30 isso fica
dQdt=(2cdot30+3)cdot2=63cdot2=126

Resposta

dQdt=126 unidades/ano

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