Calcule a integral
na superfície
representada pela função vetorial
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície
na superfície
que é dada pela função vetorial
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície usando parametrizações vetoriais.
O que vamos precisar:
- Conhecer como parametrizar uma superfície.
- Calcular derivadas parciais da parametrização.
- Encontrar o produto vetorial dessas derivadas.
- Entender como montar a integral dupla com essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que queremos integrar e a parametrização da superfície.
Função dada:
Parametrização da superfície:
com
e
.
Isso significa que para cada par de valores
dentro desses intervalos, temos um ponto na superfície
.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em termos dos parâmetros
e
. Substituímos
,
e
na função
usando a parametrização:
Substituindo na função:
Sabemos que
, então:
Então, a função simplifica para
na parametrização.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
. Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
:
Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
A magnitude desse vetor é:
Então,
|ru times rv| = 2 .
Passo 5
Agora, montamos a integral de superfície usando a parametrização:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
D é a região
1 <= u <= 3 e
0 <= v <= 2pi .
Passo 6
Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
u :
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de superfície vale
16,pi,ln3 .