Calcule a integral integral duplaS f(x, y, z) d S na superfície S representada pela função vetorial r(u, v).
f(x, y, z)=(x^2+z^2) / y ; r(u, v)=(2 cos (v), u, 2 sin (v)) ;(1 <= u <= 3 ; 0 <= v <= 2 pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS f(x, y, z) dS na superfície S que é dada pela função vetorial r(u, v).
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de superfície usando parametrizações vetoriais.
O que vamos precisar:
  • Conhecer como parametrizar uma superfície.
  • Calcular derivadas parciais da parametrização.
  • Encontrar o produto vetorial dessas derivadas.
  • Entender como montar a integral dupla com essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que queremos integrar e a parametrização da superfície.
Função dada:
f(x, y, z) = x^2 + z^2y
Parametrização da superfície:
r(u, v) = (2 cos(v), , u, , 2 sin(v))
com 1 <= u <= 3 e 0 <= v <= 2pi.
Isso significa que para cada par de valores (u, v) dentro desses intervalos, temos um ponto na superfície S.

Passo 3

Vamos reescrever a função f em termos dos parâmetros u e v. Substituímos x, y e z na função f usando a parametrização:
x = 2 cos(v), y = u, z = 2 sin(v)
Substituindo na função:
f(x, y, z) = (2 cos(v))^2 + (2 sin(v))^2u = 4 cos^2(v) + 4 sin^2(v)u
Sabemos que cos^2(v) + sin^2(v) = 1, então:
f(x, y, z) = 4(1)u = 4u
Então, a função simplifica para 4u na parametrização.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para isso, calculamos as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v:
ru = partial rpartial u = (0, , 1, , 0)
rv = partial rpartial v = (-2 sin(v), , 0, , 2 cos(v))
Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
ru times rv = i & j & k 0 & 1 & 0 -2 sin(v) & 0 & 2 cos(v) = (2 cos(v), , 0, , 2 sin(v))
A magnitude desse vetor é:
|ru times rv| = raiz(2 cos(v))^2 + 0^2 + (2 sin(v))^2 = raiz4 cos^2(v) + 4 sin^2(v) = raiz4 (cos^2(v) + sin^2(v)) = raiz4 = 2
Então, |ru times rv| = 2.

Passo 5

Agora, montamos a integral de superfície usando a parametrização:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(r(u, v)) , |ru times rv| , du , dv
Substituindo os valores que encontramos:
integral duplaS 4u cdot 2 , du , dv = 8 integral duplaD 1u , du , dv
Onde D é a região 1 <= u <= 3 e 0 <= v <= 2pi.

Passo 6

Vamos resolver a integral dupla:
8 integralv=0^2pi integralu=1^3 1u , du , dv
Primeiro, integramos em relação a u:
integralu=1^3 1u , du = ln|u| |1^3 = ln(3) - ln(1) = ln(3)
Então, a integral fica:
8 integral0^2pi ln(3) , dv = 8 ln(3) integral0^2pi dv = 8 ln(3) cdot 2pi = 16pi ln(3)

Resposta

A integral de superfície vale 16,pi,ln3.

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