Considere a quantidade de produção vegetal como função da quantidade de se mentes x colocada na cova, dada pela equação f(x)=-x^3+12 x^2(k g / h a), analise os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, calcule a produção em x=6 e em x=10 e esboce o gráfico.
R) f^prime(6)=36 e f^prime(10)=-60

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção vegetal em função da quantidade de sementes x:
f(x) = -x^3 + 12x^2
Precisamos:
– analisar onde f é crescente ou decrescente (usando derivada);
– calcular a produção em x=6 e em x=10, ou seja, f(6) e f(10);
– esboçar qualitativamente o gráfico, identificando máximo local.

Passo 2

Calculamos a derivada para estudar monotonicidade:
f'(x) = ddxl(-x^3 + 12x^2r) = -3x^2 + 24x = -3x(x - 8)
Os pontos onde f'(x)=0 são x=0 e x=8. Como o fator -3 inverte o sinal, temos:
– para 0<x<8: -3x(x-8)>0, logo f cresce;
– para x>8: -3x(x-8)<0, logo f decresce.
Em particular,
f'(6) = -3cdot6,(6-8) = 36 > 0, f'(10) = -3cdot10,(10-8) = -60 < 0

Passo 3

Calculamos as produções pedidas:
f(6) = -6^3 + 12cdot6^2 = -216 + 432 = 216,
f(10) = -10^3 + 12cdot10^2 = -1000 + 1200 = 200

Passo 4

O gráfico de f é um polinômio cúbico que parte de f(0)=0, cresce até o máximo em x=8 onde
f(8) = -8^3 + 12cdot8^2 = -512 + 768 = 256,
e depois decresce indefinidamente.
No esboço, a curva sobe de x=0 a x=8 e desce para x>8, com ponto de máximo em (8,256).

Resposta

A função é crescente em (0,8) e decrescente em (8,infty).
As produções são f(6)=216 e f(10)=200.

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