Calcule integral de superfície vetorial
do campo vetorial
, no elipsoide
, que pode ser parametrizado por
,
com vetor normal apontando para dentro do elipsoide
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície do campo vetorial $ F $ sobre a superfície do elipsoide $ S_{13} $. Isso significa que queremos saber quanta “força” do campo $ F $ está atravessando essa superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a integral de superfície. Basicamente, ela mede o fluxo do campo vetorial $ F $ através de uma superfície $ S $. O Teorema da Divergência nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais fácil de calcular. Ou seja, ao invés de calcular diretamente sobre a superfície, vamos integrar a divergência de $ F $ dentro do volume limitado por $ S_{13} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial $ F $. A divergência basicamente nos diz como o campo está “se expandindo” ou “se contraindo” naquele ponto. Para um campo $ F = \left( F_x, F_y, F_z \right) $, a divergência é dada por:
No nosso caso, $ F(x, y, z) = \left( \frac{x}{\sqrt{x{2}+y{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x{2}+y{2}}}, z^{2} \right) $. Vamos calcular cada derivada parcial:
Vamos calcular as duas primeiras derivadas:
Para $ \frac{\partial F_x}{\partial x} $:
De forma semelhante, para $ \frac{\partial F_y}{\partial y} $:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora que temos a divergência de $ F $, podemos aplicar o Teorema da Divergência:
Onde $ V $ é o volume dentro do elipsoide $ S_{13} $. Então, nossa tarefa agora é integrar $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} + 2z $ sobre esse volume.
Passo 5
Vamos lidar com a integral de volume em partes. Primeiro, a integral de $ 2z $ sobre o volume do elipsoide. Sabemos que, por simetria, a integral de $ z $ sobre o elipsoide será zero, já que para cada ponto com $ z $ positivo existe um ponto correspondente com $ z $ negativo que cancela. Portanto:
Agora, resta calcular a integral de $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ sobre o volume. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ r , dr , d\theta , dz $.
A integral fica:
Isso significa que estamos apenas calculando o volume do elipsoide!
Passo 6
Vamos calcular o volume do elipsoide $ S_{13} $. Um elipsoide com semi-eixos $ a $, $ b $, e $ c $ tem volume:
No nosso caso, a parametrização nos dá os semi-eixos:
Então, os semi-eixos são $ a = 2 $, $ b = 2 $, e $ c = 3 $. Assim, o volume é:
Passo 7
Finalmente, combinando tudo, a integral de superfície é igual à integral de volume da divergência, que calculamos ser o volume do elipsoide:
Resposta
A integral de superfície é igual a $ 16\pi $.