Calcule integral de superfície vetorial oiintS13 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(xraizx^2+y^2, yraizx^2+y^2, z^2), no elipsoide S13, que pode ser parametrizado por psi(theta, phi)=(2 cos (theta) sen(phi), 2 sen(theta) sen(phi), 3 cos (phi)), theta in[0,2 pi], phi in[0, pi] com vetor normal apontando para dentro do elipsoide

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de superfície do campo vetorial $ F $ sobre a superfície do elipsoide $ S_{13} $. Isso significa que queremos saber quanta “força” do campo $ F $ está atravessando essa superfície. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integral de superfície. Basicamente, ela mede o fluxo do campo vetorial $ F $ através de uma superfície $ S $. O Teorema da Divergência nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral de volume, o que geralmente é mais fácil de calcular. Ou seja, ao invés de calcular diretamente sobre a superfície, vamos integrar a divergência de $ F $ dentro do volume limitado por $ S_{13} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial $ F $. A divergência basicamente nos diz como o campo está “se expandindo” ou “se contraindo” naquele ponto. Para um campo $ F = \left( F_x, F_y, F_z \right) $, a divergência é dada por:
F
No nosso caso, $ F(x, y, z) = \left( \frac{x}{\sqrt{x{2}+y{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x{2}+y{2}}}, z^{2} \right) $. Vamos calcular cada derivada parcial:
F = ( Fx, Fy, Fz )
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
F(x, y, z) = ( xraizx^2+y^2, yraizx^2+y^2, z^2 )
Vamos calcular as duas primeiras derivadas:
Para $ \frac{\partial F_x}{\partial x} $:
partial Fxpartial x = partialpartial x ( xraizx^2+y^2 )
De forma semelhante, para $ \frac{\partial F_y}{\partial y} $:
partial Fypartial y = partialpartial y ( yraizx^2+y^2 )
Então, a divergência fica:
partial Fzpartial z = partialpartial z ( z^2 ) = 2z

Passo 4

Agora que temos a divergência de $ F $, podemos aplicar o Teorema da Divergência:
F
Onde $ V $ é o volume dentro do elipsoide $ S_{13} $. Então, nossa tarefa agora é integrar $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} + 2z $ sobre esse volume.

Passo 5

Vamos lidar com a integral de volume em partes. Primeiro, a integral de $ 2z $ sobre o volume do elipsoide. Sabemos que, por simetria, a integral de $ z $ sobre o elipsoide será zero, já que para cada ponto com $ z $ positivo existe um ponto correspondente com $ z $ negativo que cancela. Portanto:
2z
Agora, resta calcular a integral de $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} $ sobre o volume. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é $ r , dr , d\theta , dz $.
A integral fica:
z
Isso significa que estamos apenas calculando o volume do elipsoide!

Passo 6

Vamos calcular o volume do elipsoide $ S_{13} $. Um elipsoide com semi-eixos $ a $, $ b $, e $ c $ tem volume:
S13
No nosso caso, a parametrização nos dá os semi-eixos:
a
Então, os semi-eixos são $ a = 2 $, $ b = 2 $, e $ c = 3 $. Assim, o volume é:
b

Passo 7

Finalmente, combinando tudo, a integral de superfície é igual à integral de volume da divergência, que calculamos ser o volume do elipsoide:
oiintS13 F cdot n , dA = 16 pi

Resposta

A integral de superfície é igual a $ 16\pi $.

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