Calcule
integral t g^3 xcos ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^3 xcos^4 x,dx
Aqui vamos usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição. Em particular, vamos reescrever tudo em termos de tan x e sec x e usar a identidade
tan^2 x = sec^2 x - 1

Passo 2

Reescrevendo o integrando, note que
tan^3 xcos^4 x = tan^3 x cdot sec^4 x
Isso dá
integral tan^3 xcos^4 x,dx = integral tan^3 x,sec^4 x,dx

Passo 3

Para facilitar, escolhemos a substituição
u = sec x,
cuja diferencial é
du = sec x tan x,dx Longrightarrow sec x tan x,dx = du

Passo 4

Agora separamos um fator sec xtan x,dx no integrando e usamos tan^2 x = sec^2 x -1:
tan^3 x,sec^4 x,dx = l(tan^2 xr),sec^3 x;l(sec xtan x,dxr) = (sec^2 x -1),u^3,du
Como sec^2 x = u^2, isso fica
(sec^2 x -1),u^3,du = (u^2 -1),u^3,du = (u^5 - u^3),du

Passo 5

Integramos em u:
integral (u^5 - u^3),du = u^66 - u^44 + C
Voltando a x pela definição u=sec x, obtemos
sec^6 x6 ;-;sec^4 x4 + C

Resposta

boxedsec^6 x6 ;-;sec^4 x4 + C

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