Em uma cidade existem três linhas para o transporte público: Azul, Verde e Amarela. Uma pesquisa foi realizada com 200 pessoas desta cidade para obter dados sobre a utilização de cada uma das linhas. O resultado desta pesquisa fui o seguinte:
  • 80 pessoas disseram que utilizam a linha Azul;
  • 42 pessoas disseram que utilizam a linha Verde;
  • 43 pessoas disseram que utilizam a linha Amarela;
  • 35 pessoas disseram que utilizam as linhas Azul e Verde;
  • 37 pessoas disseram que utilizam as linhas Azul e Amarela;
  • 28 pessoas disseram que utilizam as linhas Verde e Amarela;
  • 80 pessoas disseram que não utilizam transporte público.
Com base nessas informações, determine:
a) Quantas das pessoas entrevistadas utilizam as três linhas de ônibus?
b) Quantas pessoas entrevistadas utilizam transporte público?
c) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e utilizam a linha Amarela?
d) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e não utilizam a linha Verde?

Passo 1

O enunciado fornece um universo de lvert Urvert=200 pessoas e três conjuntos de usuários de linhas de ônibus: B (Azul), G (Verde) e Y (Amarela). Temos
lvert Brvert=80, lvert Grvert=42, lvert Yrvert=43,
lvert Bcap Grvert=35, lvert Bcap Yrvert=37, lvert Gcap Yrvert=28,
e ,80 pessoas não usam nenhuma linha (ou seja, lvert Bcup Gcup Yrvert=200-80).
O conteúdo principal é o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos e operações com complementares.

Passo 2

Para achar quantas usam as três linhas, seja
x=lvert Bcap Gcap Yrvert
Pelo Inclusão-Exclusão em três conjuntos:
lvert Bcup Gcup Yrvert =lvert Brvert+lvert Grvert+lvert Yrvert -lvert Bcap Grvert-lvert Bcap Yrvert-lvert Gcap Yrvert +x
Como lvert Bcup Gcup Yrvert=200-80=120, substituímos:
120 = (80+42+43) - (35+37+28) + x Longrightarrow 120 = 165 -100 + x Longrightarrow x = 55

Passo 3

Para saber quantas pessoas entrevistadas utilizam transporte público, basta calcular
lvert Bcup Gcup Yrvert = 200 - 80 = 120

Passo 4

O número de pessoas que não utilizam a linha Azul e utilizam a linha Amarela é
lvert Ysetminus Brvert =lvert Yrvert - lvert Bcap Yrvert =43 - 37 =6

Passo 5

O número de pessoas que não utilizam a linha Azul e não utilizam a linha Verde é
lvert (Bcup G)^crvert =200 - lvert Bcup Grvert =200 - l(lvert Brvert+lvert Grvert-lvert Bcap Grvertr) =200 - (80+42-35) =200 - 87 =113

Resposta

a) 55
b) 120
c) 6
d) 113

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