Dê a equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto A=(2,3,-1) e é perpendicular ao plano pi, dado por x-y+3 z-7=0. Em seguida, determine o ponto de intersecção da reta r com o plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica. Precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que passa por um ponto específico e é perpendicular a um plano dado. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a direção de uma reta perpendicular a um plano e como expressar isso em forma vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a direção de uma reta perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal ao plano. O vetor normal é formado pelos coeficientes de x , y e z na equação do plano. No nosso caso, o plano é x - y + 3z - 7 = 0 , então o vetor normal é n = (1, -1, 3) .

Passo 3

Agora que temos o vetor direção da reta, podemos escrever a equação vetorial da reta r . A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto A(x0, y0, z0) com direção d = (a, b, c) é dada por:
r(t) = A + td
Onde t é um parâmetro real. Substituindo o ponto A = (2, 3, -1) e o vetor d = (1, -1, 3) , temos:
r(t) = (2, 3, -1) + t(1, -1, 3)
Isso pode ser escrito de forma componente a componente:
x = 2 + t y = 3 - t z = -1 + 3t

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto de intersecção da reta r com o plano pi . Para isso, substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano e resolvemos para t .
A equação do plano é x - y + 3z - 7 = 0 . Substituindo x = 2 + t , y = 3 - t e z = -1 + 3t na equação do plano:
(2 + t) - (3 - t) + 3(-1 + 3t) - 7 = 0
Simplificando:
2 + t - 3 + t - 3 + 9t - 7 = 0 (1t + t + 9t) + (2 - 3 - 3 - 7) = 0 11t - 11 = 0 11t = 11 t = 1
Agora, substituímos t = 1 nas equações paramétricas da reta para encontrar o ponto de intersecção:
x = 2 + 1 = 3 y = 3 - 1 = 2 z = -1 + 3(1) = 2

Resposta

O ponto de intersecção da reta r com o plano pi é (3, 2, 2) .

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