Dê a equação vetorial da reta , que passa pelo ponto e é perpendicular ao plano , dado por . Em seguida, determine o ponto de intersecção da reta com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica. Precisamos encontrar a equação vetorial de uma reta que passa por um ponto específico e é perpendicular a um plano dado. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a direção de uma reta perpendicular a um plano e como expressar isso em forma vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a direção de uma reta perpendicular a um plano é dada pelo vetor normal ao plano. O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e na equação do plano. No nosso caso, o plano é , então o vetor normal é .
Passo 3
Agora que temos o vetor direção da reta, podemos escrever a equação vetorial da reta . A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto com direção é dada por:
Onde é um parâmetro real. Substituindo o ponto e o vetor , temos:
Isso pode ser escrito de forma componente a componente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ponto de intersecção da reta r com o plano pi . Para isso, substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano e resolvemos para t .
A equação do plano é x - y + 3z - 7 = 0 . Substituindo x = 2 + t , y = 3 - t e z = -1 + 3t na equação do plano: