Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi / 4 x^364+x^8 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^pi/4x^364+x^8,dx
Como o denominador tem x^8=(x^4)^2 e o numerador traz x^3,dx, faz sentido usar a substituição u=x^4.

Passo 2

Definimos
u = x^4, du = 4x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = du4

Passo 3

Os limites em u são
quando x=0,;u=0^4=0, quando x=pi4,;u=l(pi4r)^4
Logo a integral vira
integral0^pi/4x^364+x^8,dx = 14integral0^(pi/4)^4du64+u^2

Passo 4

Usamos
integraldua^2+u^2=1aarctan!l(uar),
com a^2=64 e a=8. Assim
14integral0^(pi/4)^4du64+u^2 = 14cdot18 l[arctan!l(tfracu8r)r]0^(pi/4)^4 = 132arctan!l((pi/4)^48r)

Passo 5

Como (pi/4)^4=pi^4/256, temos
(pi/4)^48=pi^4256cdot8=pi^42048
Portanto a resposta final é:

Resposta

132,arctan!l(pi^42048r)

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