Calcule
integral t^2 raiz[3]t^3-1 d t

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular integral t^2 , raiz[3]t^3 - 1,dt. O conteúdo é integração por substituição, pois a parte t^3 - 1 dentro da raiz de índice 3 sugere uma mudança de variável.

Passo 2

Observando que a derivada de t^3 - 1 é 3t^2, fazemos a substituição
u = t^3 - 1
portanto
du = 3t^2,dt
e fica
t^2,dt = du3

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
integral t^2 , (t^3 - 1)^1/3,dt = integral u^1/3 cdot du3 = 13 integral u^1/3,du

Passo 4

Agora integramos u^1/3. Usando a fórmula integral u^m,du = tfracu^m+1m+1 + C, com m=1/3, obtemos
integral u^1/3,du = u^4/34/3 + C = 34u^4/3 + C
Multiplicando pelo 1/3 que estava em frente, resulta em tfrac14u^4/3 + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável t usando u = t^3 - 1. Assim a antiderivada fica
14(t^3 - 1)^4/3 + C

Resposta

14(t^3 - 1)^4/3 + C

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