Determine a imagem das funções
f(x)=log 3 x+log x 3

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função f(x)=log3x+logx3. O que a gente quer determinar é a imagem (conjunto de valores) que f(x) assume quando x>0 e xneq1. Vamos usar mudança de base de logaritmos e estudar uma função de variável real.

Passo 2

Usamos a propriedade de mudança de base: logx3 = dfrac1log3x. Assim conseguimos reescrever f(x) só em termos de log3x.

Passo 3

Definimos t = log3x, com domínio tinRsetminus0 (porque x>0 e xneq1 implicam tneq0). Aí
f(x)=log3x + dfrac1log3x = t + 1t =: g(t)

Passo 4

Agora, analisamos g(t)=t+1/t: para t>0, pelo AM–GM vem t+1/t>=2; para t<0, análogo dá t+1/t<=-2.

Passo 5

Como f(x)=g(t), concluímos que a imagem de f é igual à imagem de g.

Resposta

(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)

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