Seja definida por . Determine f de modo a termos injetiva.
Passo 1
O enunciado pede para achar um subconjunto A de ℝ tal que f(x)=|ln(x²−x+1)| seja injetiva. Vamos usar conceitos de domínio, análise do argumento do ln e monotonicidade para injetividade.
Passo 2
Primeiro note que x²−x+1>0 para todo x em ℝ, logo ln(x²−x+1) está bem definido em ℝ. A parte “|…|” nos obriga a dividir em casos conforme o sinal de ln(x²−x+1).
Precisamos achar onde ln(x²−x+1)≥0 e onde ln(x²−x+1)<0. Isso equivale a estudar x²−x+1≥1 e x²−x+1<1. Resolvendo x²−x+1≥1:
[x²−x+1≥1\implies x²−x≥0\implies x(x−1)≥0\implies x≤0oux≥1.]
Logo em (−∞,0]∪[1,∞) temos ln(x²−x+1)≥0 e, portanto,
[f(x)=|\ln(x²−x+1)|=\ln(x²−x+1)\quadparax\le0oux\ge1.]
Em (0,1) vem x²−x+1<1, logo ln(x²−x+1)<0 e
[f(x)=|\ln(x²−x+1)|=−\ln(x²−x+1)\quadpara0<x<1.]
Passo 3
Agora analisamos a monotonicidade em cada trecho. Calculemos derivada geral:
[Q(x)=x²−x+1,\quad Q’(x)=2x−1.]
No caso f(x)=\ln(Q(x)), temos
[f’(x)=\frac{Q’(x)}{Q(x)}=\frac{2x−1}{x²−x+1}.]
Em x≤0, 2x−1<0 e Q(x)>0, logo f’(x)<0: f é decrescente em (−∞,0], tornando-se injetiva ali.
Em x≥1, 2x−1≥1>0 e Q(x)>0, logo f’(x)>0: f é crescente em [1,∞), também injetiva.
Passo 4
No caso f(x)=−\ln(Q(x)),
[f’(x)=−\frac{2x−1}{x²−x+1}.]
Em (0,½), 2x−1<0 ⇒ f’(x)>0 (crescente); em (½,1), 2x−1>0 ⇒ f’(x)<0 (decrescente). Logo f não é monotônica em [0,1] inteiro, mas só em [0,½] ou em [½,1].
Passo 5
Concluímos que f é injetiva exatamente em cada um desses intervalos onde é monotônica:
[(-∞,0],\quad[0,\tfrac12],\quad[\tfrac12,1],\quad[1,\infty).]
Para um domínio “máximo” que garanta injetividade, normalmente escolhemos (-∞,0] ou [1,∞), pois aí f(x)=ln(x²−x+1) é estritamente monotônica.
Resposta
Por exemplo, escolhendo A=(-∞,0] ou A=[1,∞), temos f injetiva nesses domínios.