Determine x solução de log 14(x+1)=log 4(x-1)

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar o valor de x que satisfaz log14(x+1)=log4(x-1). Aqui o conteúdo é mudança de base de logaritmos e propriedades de soma de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, a gente define o domínio das expressões dentro dos logaritmos. Precisamos ter x+1>0 e x-1>0. Isso dá as condições:
x>-1e x>1
Como as duas devem valer, ficamos com x>1.

Passo 3

Agora usamos a mudança de base para escrever log14(x+1) em função de logaritmos na base 4. Lembrando que
loga(b)=logc(b)logc(a),
tomamos c=4 e notamos que log4(1/4)=-1. Logo:
log14(x+1)=log4(x+1)log4(1/4)=log4(x+1)-1=-log4(x+1)

Passo 4

Substituindo na equação original, fica
-log4(x+1)=log4(x-1)
Passamos tudo para um lado:
log4(x+1)+log4(x-1)=0

Passo 5

Aplicando a propriedade de soma de logaritmos (produto dentro do log):
log4l((x+1)(x-1)r)=0

Passo 6

Como log4(cdot)=0 implica que o argumento vale 4^0=1, obtemos:
(x+1)(x-1)=1
Expandindo e resolvendo a equação do 2º grau:
x^2-1=1Longrightarrow x^2=2Longrightarrow x=pmraiz2

Passo 7

Porém o domínio exige x>1, então a única solução válida é x=raiz2.

Resposta

x=raiz2

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