Calcule: integral e^t sen(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral e^t sin(2t) , dt. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica da integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, vamos escolher u e dv de forma estratégica. Vamos deixar:
u = e^t e dv = sin(2t) , dt
Agora, precisamos encontrar du e v:
du = e^t , dt e v = integral sin(2t) , dt = -12 cos(2t)

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^t sin(2t) , dt = u , v - integral v , du = e^t (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) e^t , dt
Simplificando:
= -12 e^t cos(2t) + 12 integral e^t cos(2t) , dt

Passo 4

Agora, vamos resolver a nova integral integral e^t cos(2t) , dt usando integração por partes novamente. Desta vez, novamente deixamos:
u = e^t e dv = cos(2t) , dt
Então:
du = e^t , dt e v = integral cos(2t) , dt = 12 sin(2t)

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes de novo:
integral e^t cos(2t) , dt = u , v - integral v , du = e^t (12 sin(2t)) - integral 12 sin(2t) e^t , dt
Simplificando:
= 12 e^t sin(2t) - 12 integral e^t sin(2t) , dt

Passo 6

Agora, voltamos à nossa equação original:
integral e^t sin(2t) , dt = -12 e^t cos(2t) + 12 ( 12 e^t sin(2t) - 12 integral e^t sin(2t) , dt )
Vamos simplificar e chamar a integral original de I:
I = -12 e^t cos(2t) + 14 e^t sin(2t) - 14 I

Passo 7

Agora, vamos resolver para I:
I + 14 I = -12 e^t cos(2t) + 14 e^t sin(2t)
54 I = -12 e^t cos(2t) + 14 e^t sin(2t)
Multiplicando ambos os lados por 45:
I = 45 ( -12 e^t cos(2t) + 14 e^t sin(2t) )
Simplificando:
I = -25 e^t cos(2t) + 15 e^t sin(2t)

Resposta

A integral integral e^t sin(2t) , dt é igual a:
-25 e^t cos(2t) + 15 e^t sin(2t) + C
onde C é a constante de integração.

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