Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que:
E também sabemos que:
Então, substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes usando essa nova expressão:
Isso facilita a resolução porque agora temos duas integrais mais simples para calcular.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
. Para isso, usamos a substituição, que é uma técnica onde substituímos parte da integral por uma nova variável para simplificar.
Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Sabemos que a integral de
é:
Isso vem do fato de que
e usando a substituição
.
Passo 6
Juntando as duas integrais que calculamos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
é: