Calcule: integral tan ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de tan^3(x) , dx. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^3(x) de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que:
tan^3(x) = tan(x) cdot tan^2(x)
E também sabemos que:
tan^2(x) = sec^2(x) - 1
Então, substituindo na expressão original:
tan^3(x) = tan(x) cdot (sec^2(x) - 1)

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes usando essa nova expressão:
integral tan^3(x) , dx = integral tan(x) cdot sec^2(x) , dx - integral tan(x) , dx
Isso facilita a resolução porque agora temos duas integrais mais simples para calcular.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: integral tan(x) cdot sec^2(x) , dx. Para isso, usamos a substituição, que é uma técnica onde substituímos parte da integral por uma nova variável para simplificar.
Vamos deixar u = tan(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sec^2(x) Rightarrow du = sec^2(x) , dx
Substituindo na integral:
integral u , du = u^22 + C
Voltando para x:
tan^2(x)2 + C

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral tan(x) , dx. Sabemos que a integral de tan(x) é:
integral tan(x) , dx = -ln|cos(x)| + C
Isso vem do fato de que tan(x) = sin(x)cos(x) e usando a substituição u = cos(x).

Passo 6

Juntando as duas integrais que calculamos:
integral tan^3(x) , dx = ( tan^2(x)2 ) - ln|cos(x)| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de tan^3(x) , dx é:
integral tan^3(x) , dx = tan^2(x)2 - ln|cos(x)| + C

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