Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
e^zz sen z.

Passo 1

O enunciado pede os polos, suas ordens e os resíduos da função
f(z)=e^zzsin z
Este é um problema de análise complexa que envolve identificar zeros do denominador, determinar a ordem dos polos e calcular resíduos usando séries de Laurent ou fórmulas de derivada.

Passo 2

Identificamos os pontos onde o denominador se anula:
,zsin z=0 se z=0 ou sin z=0.
Como sin z=0 para z=npi, ninZ, os polos são
z=0, z=npi;(,ninZ,,nneq0,)

Passo 3

Determinamos a ordem de cada polo:
  • Em z=npi, nneq0, temos sin z com zero simples e z não nulo, logo f tem polo simples.
  • Em z=0, nota-se que sin zapprox z perto de 0, logo zsin zapprox z^2. Assim f tem polo de ordem 2 em z=0.

Passo 4

Cálculo do resíduo em polos simples , :

Passo 5

Cálculo do resíduo em (polo de ordem 2). Usamos
Escrevendo a série de Taylor:
temos que o coeficiente de é . Portanto

Resposta

Polos e ordens:
é polo de ordem 2;
( ) são polos simples.
Resíduos:

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