Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede os polos, suas ordens e os resíduos da função
Este é um problema de análise complexa que envolve identificar zeros do denominador, determinar a ordem dos polos e calcular resíduos usando séries de Laurent ou fórmulas de derivada.
Passo 2
Identificamos os pontos onde o denominador se anula:
se
ou
.
Como para
,
, os polos são
Como
Passo 3
Determinamos a ordem de cada polo:
- Em
, , temos com zero simples e não nulo, logo tem polo simples. - Em
, nota-se que perto de 0, logo . Assim tem polo de ordem 2 em .
Passo 4
Cálculo do resíduo em polos simples
,
:
Passo 5
Cálculo do resíduo em
(polo de ordem 2). Usamos
Escrevendo a série de Taylor:
temos que o coeficiente de
é
. Portanto
Resposta
Polos e ordens:
é polo de ordem 2;
(
) são polos simples.
Resíduos: