Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
log (1+z)z^2 sen z.
Neste item, considere o plano cortado ao longo do semi-eixo (-infty,-1].

Passo 1

O enunciado quer os polos, suas ordens e resíduos de
f(z)=log(1+z)z^2,sin z
onde escolhemos o ramo de log(1+z) com corte ao longo de (-infty,-1].
Para isso vamos:
  1. Examinar a expansão em série de Taylor em z=0.
  2. Usar que sin z tem zeros simples em z=kpi.
  3. Aplicar a definição de polo (ordem) e a fórmula de resíduo.

Passo 2

Análise em :
– Expansões conhecidas:
– Logo
Multiplicando as séries obtemos
Portanto em temos um polo de ordem 2 e o resíduo é o coeficiente de , isto é

Passo 3

Análise em , :
– Como e , cada zero de é simples.
– Em volta de ,
– A função é analítica em quando não estiver no corte.
– Assim o polo em é simples e

Passo 4

Como estamos no plano cortado em (-infty,-1], pontos reais <=-1 não pertencem ao domínio. Em particular kpi<=- pi< -1 para k<0 está sobre o corte. Logo os polos efetivos no domínio são
z=0, z=kpi(k=1,2,3,dots)

Resposta

Pólos em
de ordem 2, com
e polos simples em
para , com

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