Determine os pólos, as ordens e os resíduos correspondentes de cada uma das funções dadas:
.
Neste item, considere o plano cortado ao longo do semi-eixo
.
Neste item, considere o plano cortado ao longo do semi-eixo
Passo 1
O enunciado quer os polos, suas ordens e resíduos de
onde escolhemos o ramo de
com corte ao longo de
.
Para isso vamos:
Para isso vamos:
- Examinar a expansão em série de Taylor em
. - Usar que
tem zeros simples em . - Aplicar a definição de polo (ordem) e a fórmula de resíduo.
Passo 2
Análise em
:
– Expansões conhecidas:
– Expansões conhecidas:
– Logo
Multiplicando as séries obtemos
Portanto em
temos um polo de ordem 2 e o resíduo é o coeficiente de
, isto é
Passo 3
Análise em
,
:
– Como e
, cada zero de
é simples.
– Em volta de ,
– Como
– Em volta de
– A função
é analítica em
quando
não estiver no corte.
– Assim o polo em é simples e
– Assim o polo em
Passo 4
Como estamos no plano cortado em
, pontos reais
não pertencem ao domínio. Em particular
para
está sobre o corte. Logo os polos efetivos no domínio são
Resposta
Pólos em
de ordem 2, com
e polos simples em
para
, com