Calcule a integral traçando a ordem de integração;
\int_{0}^{2} \int_{y / 2}^{1} y \cos \left(x^{3}-1\right) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y/2}^{1} y\cos\!\left(x^{3}-1\right)\,dx\,dy
e pede que a calculemos traçando (isto é, trocando) a ordem de integração. Informações relevantes fornecidas: para cada y temos 0\le y\le 2 e, para esse y, x varia de x=y/2 até x=1. O que se pede: reescrever a integral com a ordem dx\,dy trocada para dy\,dx (ou seja, primeiro integrar em y e depois em x) e calcular o valor da integral.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano xy. A condição 0\le y\le 2 e y/2\le x\le 1 equivale ao conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
0\le y\le 2,\qquad \frac{y}{2}\le x\le 1.
Escrevendo essas desigualdades de outra forma, da segunda temos y\le 2x. Portanto a região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\; \frac{y}{2}\le x\le 1\}=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2x\}.
(Interpretação: peguei o dado original x\in[y/2,1] e rearrumei para obter y\le 2x; também observei que o menor x na região é 0 quando y=0, e o maior é 1.)

Passo 3

Com a descrição alternativa da região, a troca da ordem de integração fica direta: primeiro y vai de 0 até 2x, e depois x vai de 0 até 1. Assim reescrevemos a integral como
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x} y\cos\!\left(x^{3}-1\right)\,dy\,dx.
Nota importante de técnica: ao trocar a ordem, sempre isole as desigualdades como a\le x\le b e g_1(x)\le y\le g_2(x) (ou vice‑versa). Aqui deu 0\le x\le1 e 0\le y\le 2x.

Passo 4

Agora vamos integrar em y primeiro. Na integral interna a função \cos\!\left(x^{3}-1\right) depende só de x, então é constante em relação a y. Calculamos
\int_{0}^{2x} y\cos\!\left(x^{3}-1\right)\,dy = \cos\!\left(x^{3}-1\right)\int_{0}^{2x} y\,dy.
Recordando que \int y\,dy = \tfrac{y^{2}}{2}, obtemos
\int_{0}^{2x} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{2x} = \frac{(2x)^{2}}{2} = 2x^{2}.

Passo 5

Substituindo o resultado da integração em y na integral em x, temos
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x} y\cos\!\left(x^{3}-1\right)\,dy\,dx = \int_{0}^{1} 2x^{2}\cos\!\left(x^{3}-1\right)\,dx.
Agora sobra uma integral em uma variável só. A técnica natural aqui é a substituição porque vemos x^{2}\,dx e também x^{3}-1 no argumento do cosseno.

Passo 6

Façamos a substituição \;u=x^{3}-1\;. Então du=3x^{2}\,dx, ou seja x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}. Também trocamos os limites: quando x=0 temos u=0^{3}-1=-1; quando x=1 temos u=1^{3}-1=0. A integral transforma-se em
\int_{0}^{1} 2x^{2}\cos\!\left(x^{3}-1\right)\,dx = \int_{u=-1}^{0} 2\cos(u)\cdot\frac{du}{3} = \frac{2}{3}\int_{-1}^{0}\cos(u)\,du.

Passo 7

A integral de \cos é \sin. Então
\frac{2}{3}\int_{-1}^{0}\cos(u)\,du = \frac{2}{3}\left.\sin(u)\right|_{-1}^{0} = \frac{2}{3}\bigl(\sin(0)-\sin(-1)\bigr).
E como \sin(0)=0 e \sin(-1)=-\sin(1), isso simplifica para \dfrac{2}{3}\sin(1).

Resposta

\dfrac{2}{3}\sin 1

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