e pede que a calculemos traçando (isto é, trocando) a ordem de integração. Informações relevantes fornecidas: para cada y temos 0\le y\le 2 e, para esse y, x varia de x=y/2 até x=1. O que se pede: reescrever a integral com a ordem dx\,dy trocada para dy\,dx (ou seja, primeiro integrar em y e depois em x) e calcular o valor da integral.
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano xy. A condição 0\le y\le 2 e y/2\le x\le 1 equivale ao conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
0\le y\le 2,\qquad \frac{y}{2}\le x\le 1.
Escrevendo essas desigualdades de outra forma, da segunda temos y\le 2x. Portanto a região D é
(Interpretação: peguei o dado original x\in[y/2,1] e rearrumei para obter y\le 2x; também observei que o menor x na região é 0 quando y=0, e o maior é 1.)
Passo 3
Com a descrição alternativa da região, a troca da ordem de integração fica direta: primeiro y vai de 0 até 2x, e depois x vai de 0 até 1. Assim reescrevemos a integral como
Nota importante de técnica: ao trocar a ordem, sempre isole as desigualdades como a\le x\le b e g_1(x)\le y\le g_2(x) (ou vice‑versa). Aqui deu 0\le x\le1 e 0\le y\le 2x.
Passo 4
Agora vamos integrar em y primeiro. Na integral interna a função \cos\!\left(x^{3}-1\right) depende só de x, então é constante em relação a y. Calculamos
Agora sobra uma integral em uma variável só. A técnica natural aqui é a substituição porque vemos x^{2}\,dx e também x^{3}-1 no argumento do cosseno.
Passo 6
Façamos a substituição \;u=x^{3}-1\;. Então du=3x^{2}\,dx, ou seja x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}. Também trocamos os limites: quando x=0 temos u=0^{3}-1=-1; quando x=1 temos u=1^{3}-1=0. A integral transforma-se em