Determine a negação de cada uma das seguintes proposições. Quais dessas negações são verdadeiras?
3 \cdot 2+1>4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a negação da proposição dada e (b) dizer se essa negação é verdadeira. A proposição dada é 3\cdot 2+1>4. Não vamos resolver ainda, só anotamos o que foi pedido e a informação disponível: os números envolvidos são 3, 2, 1 e 4.

Passo 2

O que significa negar uma proposição? Negar uma proposição P significa construir uma nova proposição \lnot P que seja verdadeira exatamente quando P é falsa, e falsa exatamente quando P é verdadeira. Em outras palavras, entre P e \lnot P uma e só uma pode ser verdadeira.

Passo 3

Vamos lembrar uma regra simples para negar desigualdades: a negação de uma afirmação do tipo x>y é a afirmação x\le y. Por que isso? Porque “não ( x>y )” significa que não é verdade que x seja estritamente maior que y; as únicas outras possibilidades são x=y ou x<y, e essas duas juntas são exatamente x\le y. Assim temos a equivalência lógica
\lnot (x>y)\iff x\le y.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa proposição 3\cdot 2+1>4, a negação é
3\cdot 2+1 \le 4.

Passo 5

Agora avaliamos os valores numéricos para saber qual das proposições é verdadeira. Primeiro calculemos o lado esquerdo:
3\cdot 2+1 = 6+1 = 7.
Portanto a proposição original é 7>4, que é verdadeira (porque 7 é maior que 4).

Passo 6

Se a proposição original 7>4 é verdadeira, a sua negação deve ser falsa (pela definição de negação). Verificando diretamente a negação temos 7\le 4, que é obviamente falsa. Logo, a negação não é verdadeira.

Resposta

3\cdot 2+1 \le 4
Falsa

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