Calcule a integral, transformando para coodenadas esféricas.
integral-a^a integral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^2 z+y^2 z+z^3) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral-a^aintegral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2(x^2z + y^2z + z^3),dz,dy,dx
no interior da esfera de raio a. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas e uso de simetria para simplificar a integral.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as definições:
x = rho,sinvarphi,costheta, y = rho,sinvarphi,sintheta, z = rho,cosvarphi,
com o jacobiano
J = rho^2sinvarphi,
e os limites 0<=rho<= a, 0<=varphi<=pi, 0<=theta<2pi.

Passo 3

O integrando fica:
x^2z + y^2z + z^3 = z, (x^2 + y^2) + z^3 = (rhocosvarphi)(rho^2sin^2varphi) + (rhocosvarphi)^3 = rho^3cosvarphi(sin^2varphi + cos^2varphi) = rho^3cosvarphi

Passo 4

A integral completa é
integral0^2piintegral0^piintegral0^a l(rho^3cosvarphir)cdot(rho^2sinvarphi),drho,dvarphi,dtheta = integral0^2pi!dthetaintegral0^pi!sinvarphicosvarphi,dvarphiintegral0^arho^5,drho

Passo 5

Agora calculamos separadamente:
  1. integral0^arho^5,drho = tfraca^66
  2. integral0^2pidtheta = 2pi
  3. integral0^pisinvarphicosvarphi,dvarphi = tfrac12integral0^pisin2varphi,dvarphi = 0
    Como um dos fatores é zero, a integral total é zero.

Resposta

0

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