Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=sen x, y=2 x / pi, x >= 0

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região delimitada pelas curvas ,y=sin x, ,y=tfrac2xpi e x>=0. O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas: vamos encontrar os pontos de interseção, ver qual função fica por cima e montar uma integral definida da diferença.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos
sin x = 2xpi
em x>=0. Evidentemente x=0 é solução. Testando x=tfracpi2 obtemos sin(tfracpi2)=1 e tfrac2(pi/2)pi=1, logo x=tfracpi2 também é solução. Não há outra interseção para 0<x<pi.

Passo 3

Para decidir qual curva está acima no intervalo (0,tfracpi2), avaliamos em x=tfracpi4:
sin(tfracpi4)=tfracraiz22approx0,707 e tfrac2(pi/4)pi=tfrac12=0,5.
Portanto sin x>tfrac2xpi em todo 0<x<tfracpi2. No esboço, a curva senoidal fica acima da reta desde x=0 até x=tfracpi2.

Passo 4

A área A entre as duas curvas de x=0 até x=tfracpi2 é
A = integral0^pi/2!l(sin x ;-;tfrac2xpir),dx
Calculando cada integral:
integral0^pi/2sin x,dx = l[-cos xr]0^pi/2 = 1, integral0^pi/2x,dx = l[tfracx^22r]0^pi/2 = tfracpi^28
Logo
A = 1 ;-;2pi,cdotpi^28 = 1 ;-;pi4

Resposta

A = 1 - tfracpi4.

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