Questão 2) (Valor: 1,6 ponto) Considere a função
.
a)
Qual o domínio de
.
b)
Calcule o limite de
quando
tende a
c)
Explique o significado geométrico da existência do limite na letra b). …
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a Questão 2 que envolve a função $ f(x) = \frac{x{2}-9}{x{2}-x-6} $. Nessa questão, vamos trabalhar com conceitos de domínio de funções, limites e interpretação geométrica desses limites. Precisaremos entender como identificar o domínio da função e calcular limites, além de interpretar o que esses limites significam no gráfico da função.
Passo 2
Letra a) Qual o domínio de $ f $.
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função $ f(x) = \frac{x{2}-9}{x{2}-x-6} $. O domínio de uma função racional (fração de polinômios) é composto por todos os valores de $ x $ para os quais o denominador não é zero, pois divisão por zero não é definida.
Vamos encontrar os valores de $ x $ que tornam o denominador zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, $ x = 3 $ e $ x = -2 $.
Esses são os valores que devemos excluir do domínio.
Passo 3
Então, o domínio de $ f $ é todos os números reais exceto $ x = 3 $ e $ x = -2 $. Podemos escrever isso assim:
Passo 4
Letra b) Calcule o limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende a 3.
Primeiro, tentamos substituir $ x = 3 $ na função:
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos simplificar a função para calcular o limite.
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Agora, a função fica:
Podemos cancelar o termo $ (x - 3) $ que está no numerador e denominador:
Agora, podemos calcular o limite substituindo $ x = 3 $:
Passo 5
Letra c) Explique o significado geométrico da existência do limite na letra b).
O limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende a 3 sendo igual a $ \frac{6}{5} $ significa que, à medida que $ x $ se aproxima de 3, os valores de $ f(x) $ se aproximam de $ \frac{6}{5} $. Geometricamente, isso indica que o gráfico de $ f(x) $ possui um ponto de descontinuidade removível em $ x = 3 $.
Embora a função não esteja definida em $ x = 3 $ (pois resulta em uma divisão por zero), o limite existe e o gráfico da função se aproxima do ponto $ (3, \frac{6}{5}) $. Se definirmos $ f(3) = \frac{6}{5} $, a descontinuidade seria “removida”, deixando o gráfico contínuo nesse ponto.
Resposta
a) O domínio de $ f $ é $ D = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq -2 e x \neq 3 } $.
b) O limite de $ f(x) $ quando $ x $ tende a 3 é $ \frac{6}{5} $.
c) Geometricamente, a existência do limite em $ x = 3 $ indica que o gráfico de $ f(x) $ se aproxima do ponto $ (3, \frac{6}{5}) $, representando uma descontinuidade removível nesse ponto.