Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=x, y=(x-2)^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
y = x
e
y = (x-2)^2
e calcular sua área. O conteúdo é “área entre curvas” em coordenadas cartesianas: vamos precisar encontrar os pontos de interseção, decidir qual curva está acima, montar a integral de “topo menos base” e calculá-la.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
x = (x-2)^2
Expandindo,
x = x^2 - 4x + 4 Longrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0
As raízes dessa quadrática são
x = 1 e x = 4
Os pontos de interseção são (1,1) e (4,4).

Passo 3

Para saber qual curva está acima entre x=1 e x=4, escolhemos um ponto intermediário, por exemplo x=2:
y1 = x = 2, y2 = (x-2)^2 = 0
Como 2>0, a reta y=x fica acima da parábola y=(x-2)^2. No esboço, a parábola abre para cima com vértice em (2,0) e a reta cruza a região formando um “fechamento” em (1,1) e (4,4).

Passo 4

A área A entre duas curvas y=f(x) (topo) e y=g(x) (base) de x=a até x=b é
A = integrala^b l(f(x) - g(x)r),dx
Aqui f(x)=x, g(x)=(x-2)^2, a=1, b=4. Logo,
A = integral1^4 l[x - (x-2)^2r],dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
x - (x-2)^2 = x - (x^2-4x+4) = -x^2 +5x -4
Uma primitiva de -x^2 +5x -4 é
F(x) = -x^33 + 5x^22 - 4x

Passo 6

Agora avaliamos de 1 a 4:
A = F(4) - F(1)
Calculando,
F(4) = -643 + 5cdot162 - 16 = -643 + 40 - 16 = -643 + 24 = 83,
F(1) = -13 + 52 - 4 = -13 + 52 - 82 = -13 - 32 = -116
Portanto
A = 83 - l(-116r) = 83 + 116 = 166 + 116 = 276 = 92

Resposta

A área da região é 92.

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