Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
e
e calcular sua área. O conteúdo é “área entre curvas” em coordenadas cartesianas: vamos precisar encontrar os pontos de interseção, decidir qual curva está acima, montar a integral de “topo menos base” e calculá-la.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de
:
Expandindo,
As raízes dessa quadrática são
Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Para saber qual curva está acima entre
e
, escolhemos um ponto intermediário, por exemplo
:
Como
, a reta
fica acima da parábola
. No esboço, a parábola abre para cima com vértice em
e a reta cruza a região formando um “fechamento” em
e
.
Passo 4
A área
entre duas curvas
(topo) e
(base) de
até
é
Aqui
,
,
,
. Logo,
Passo 5
Expandindo o integrando:
Uma primitiva de
é
Passo 6
Agora avaliamos de
a
:
Calculando,
Portanto
Resposta
A área da região é
.