Calcule a integral transformando para coordenadas cilíndricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse integral triplo que está numa coordenada cartesiana e transformar para coordenadas cilíndricas. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente mudança de coordenadas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar saber como converter as expressões de
,
,
para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos
,
e
, onde:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos olhar os limites de integração originais:
-
vai de a . - Para cada
, vai de a . - Para cada
e , vai de a .
Em coordenadas cilíndricas,
, então o limite inferior de
será
, e o limite superior continua sendo
.
Passo 4
Vamos determinar os novos limites em coordenadas cilíndricas:
- O
varia do (no centro) até (pois ). - O
varia de a porque vai de a , ou seja, apenas a metade superior do plano . - O
varia de a , como vimos antes.
Passo 5
Vamos reescrever o integrando
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
, então:
E o elemento de volume
é
. Então, o integral em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Substituindo de volta:
Distribuindo:
Passo 7
Agora, vamos integrar em
:
E:
Subtraindo as duas partes:
Passo 8
Finalmente, vamos integrar em
:
Resposta
O valor do integral é
.