Calcule a integral transformando para coordenadas cilíndricas:
integral-2^2 integral0^raiz4-x^2 integralraizx^2+y^2^2 y z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral triplo que está numa coordenada cartesiana e transformar para coordenadas cilíndricas. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente mudança de coordenadas para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar saber como converter as expressões de , , para coordenadas cilíndricas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, usamos , e , onde:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos olhar os limites de integração originais:
  • vai de a .
  • Para cada , vai de a .
  • Para cada e , vai de a .
Em coordenadas cilíndricas, , então o limite inferior de será , e o limite superior continua sendo .

Passo 4

Vamos determinar os novos limites em coordenadas cilíndricas:
  • O varia do (no centro) até (pois ).
  • O varia de a porque vai de a , ou seja, apenas a metade superior do plano .
  • O varia de a , como vimos antes.

Passo 5

Vamos reescrever o integrando y z = r sin theta cdot z em coordenadas cilíndricas. Sabemos que integral0^pi integral0^2 integralr^2 (r sin theta) cdot z cdot r , dz , dr , dtheta , então:
integral0^pi integral0^2 integralr^2 r^2 sin theta cdot z , dz , dr , dtheta
E o elemento de volume é . Então, o integral em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral em integralr^2 z , dz = [ z^22 ]r^2 = 42 - r^22 = 2 - r^22 primeiro:
integral0^pi integral0^2 r^2 sin theta (2 - r^22) , dr , dtheta
Substituindo de volta:
integral0^pi integral0^2 (2 r^2 sin theta - r^42 sin theta) , dr , dtheta
Distribuindo:

Passo 7

Agora, vamos integrar em integral0^2 2 r^2 sin theta , dr = 2 sin theta [ r^33 ]0^2 = 2 sin theta ( 83 ) = 163 sin theta :
integral0^2 r^42 sin theta , dr = sin theta2 [ r^55 ]0^2 = sin theta2 ( 325 ) = 165 sin theta
E:
163 sin theta - 165 sin theta = ( 163 - 165 ) sin theta = 80 - 4815 sin theta = 3215 sin theta
Subtraindo as duas partes:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar em integral0^pi 3215 sin theta , dtheta = 3215 [ -cos theta ]0^pi = 3215 ( -cos pi + cos 0 ) = 3215 ( -(-1) + 1 ) = 3215 (2) = 6415 :

Resposta

O valor do integral é .

Exercícios relacionados