Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O enunciado pede para transformar a integral para coordenadas esféricas. Isso envolve mudar os limites de integração e a função a ser integrada para esse sistema de coordenadas. Vamos precisar conhecer as fórmulas de transformação para coordenadas esféricas e entender como os limites se adaptam a esse novo sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores: (a distância do ponto à origem), (o ângulo com o eixo ) e (o ângulo no plano ). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Também precisamos do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi
Além disso, a função que vamos integrar, z raizx^2 + y^2 + z^2 = rho costheta cdot rho = rho^2 costheta , em coordenadas esféricas fica:
Passo 4
Agora, precisamos entender os limites de integração. Observando os limites originais:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 a , o que descreve um quarto de círculo no plano .
Para cada , varia de a .
Em coordenadas esféricas:
varia de 0 ao valor máximo que satisfaz , ou seja, vai de 0 a .
varia de 0 a porque implica .
varia de 0 a já que e são positivos no enunciado original.
Passo 5
Com tudo isso, podemos reescrever a integral em coordenadas esféricas: