Calcule a integral transformando para coordenadas esféricas:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O enunciado pede para transformar a integral para coordenadas esféricas. Isso envolve mudar os limites de integração e a função a ser integrada para esse sistema de coordenadas. Vamos precisar conhecer as fórmulas de transformação para coordenadas esféricas e entender como os limites se adaptam a esse novo sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores: x = rho sintheta cosphi y = rho sintheta sinphi z = rho costheta (a distância do ponto à origem), (o ângulo com o eixo ) e (o ângulo no plano ). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Também precisamos do elemento de volume em coordenadas esféricas, que é dado por:
dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi
Além disso, a função que vamos integrar, z raizx^2 + y^2 + z^2 = rho costheta cdot rho = rho^2 costheta , em coordenadas esféricas fica:

Passo 4

Agora, precisamos entender os limites de integração. Observando os limites originais:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de 0 a , o que descreve um quarto de círculo no plano .
  • Para cada , varia de a .
Em coordenadas esféricas:
  • varia de 0 ao valor máximo que satisfaz , ou seja, vai de 0 a .
  • varia de 0 a porque implica .
  • varia de 0 a já que e são positivos no enunciado original.

Passo 5

Com tudo isso, podemos reescrever a integral em coordenadas esféricas:
integral0^pi/2 integral0^pi/4 integral0^raiz2 rho^2 costheta cdot rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi
Simplificando a expressão dentro da integral:
rho^4 costheta sintheta

Passo 6

Agora, vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^raiz2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^raiz2 = (raiz2)^55 = 4raiz25 :

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi/4 costheta sintheta , dtheta :
integral0^sin(pi/4) u , du = [ u^22 ]0^raiz22 = (raiz22)^22 = 1/22 = 14
Fazendo uma substituição , :

Passo 8

Por último, integramos em relação a integral0^pi/2 dphi = [ phi ]0^pi/2 = pi2 :

Resposta

Multiplicando todos os resultados:
4raiz25 times 14 times pi2 = raiz2 pi10
Portanto, o valor da integral é .

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