Determine o volume do sólido contido abaixo do paraboloide elíptico
e acima do retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide elíptico dado por
e acima de um retângulo
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais duplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies envolvidas. O paraboloide elíptico
pode ser reescrito para facilitar:
. Isso nos dá a altura
em função de
e
.
Passo 3
Precisamos determinar o volume entre essa superfície e o retângulo
. O volume será a integral dupla da função
sobre a região
.
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla. Como
é retangular e os limites são constantes, podemos escrever:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, com respeito a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 6
Agora, integramos a expressão resultante com respeito a
:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é igual a 7 unidades cúbicas.