Determine o volume do sólido contido abaixo do paraboloide elíptico x^2/4 + y^2/9 + z = 1 e acima do retângulo R = [-1, 1] x [-3, 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide elíptico dado por x^2/4 + y^2/9 + z = 1 e acima de um retângulo . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais duplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies envolvidas. O paraboloide elíptico x^2/4 + y^2/9 + z = 1 pode ser reescrito para facilitar: . Isso nos dá a altura z em função de x e y.

Passo 3

Precisamos determinar o volume entre essa superfície e o retângulo . O volume será a integral dupla da função sobre a região R.

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla. Como R é retangular e os limites são constantes, podemos escrever:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, com respeito a y:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, integramos a expressão resultante com respeito a x:
Calculando cada parte:
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é igual a 7 unidades cúbicas.

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