A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada:
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^y4-y d y d x
Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma integral dupla:
integral0^2 integral0^4 - x^2 x e^y4 - y , dy , dx
O objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e então calcular a integral. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integração dupla e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a . Para esboçar essa região:
  1. Plote no eixo horizontal de 0 a 2.
  2. Para cada , vai de 0 até , que é uma parábola invertida.
Isso nos dá uma região que está abaixo da parábola e acima do eixo , entre e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar integral0^4 integral0^raiz4 - y x e^y4 - y , dx , dy em termos de .
Originalmente, temos:
Queremos expressar:
  • (pois quando , )
  • Para cada , varia de 0 até (obtido rearranjando ).
Então, a nova ordem de integração fica:

Passo 4

Vamos agora calcular a integral com a ordem invertida:
integral0^4 integral0^raiz4 - y x e^y4 - y , dx , dy
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral0^raiz4 - y x e^y4 - y , dx :
e^y4 - y integral0^raiz4 - y x , dx
Como integral x , dx = x^22 e e^y4 - y [ (raiz4 - y)^22 - 0^22 ] = e^y4 - y cdot 4 - y2 = e^y2 são constantes em relação a , podemos fatorar:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^4 e^y2 , dy
Fatoramos a constante:
12 integral0^4 e^y , dy
A integral de 12 [ e^4 - e^0 ] = 12 ( e^4 - 1 ) em relação a é . Aplicando os limites:

Resposta

O valor da integral é:
e^4 - 12

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