A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada:
Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma integral dupla:
O objetivo é esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e então calcular a integral. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integração dupla e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de 0 a 2 e, para cada
,
varia de 0 a
. Para esboçar essa região:
- Plote
no eixo horizontal de 0 a 2. - Para cada
, vai de 0 até , que é uma parábola invertida.
Isso nos dá uma região que está abaixo da parábola
e acima do eixo
, entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar
em termos de
.
Originalmente, temos:
Queremos expressar:
-
(pois quando , ) - Para cada
, varia de 0 até (obtido rearranjando ).
Então, a nova ordem de integração fica:
Passo 4
Vamos agora calcular a integral com a ordem invertida:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos fatorar:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Fatoramos a constante:
A integral de
em relação a
é
. Aplicando os limites:
Resposta
O valor da integral é: