As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
b) f(x, y) = ln(raiz(x^2 + y^2)),

Passo 1

Vamos analisar se a função dada é diferenciável. A função que vamos estudar é:
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e quais ferramentas da matemática vamos usar para isso, como derivadas parciais e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a função como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.
Primeiro, derivada parcial em relação a :
Em seguida, derivada parcial em relação a :

Passo 4

Para a função ser diferenciável em um ponto, as derivadas parciais devem existir e ser contínuas nesse ponto. Vamos verificar onde as derivadas parciais existem e são contínuas.
Observamos que as derivadas parciais e estão definidas para todos os pontos onde , ou seja, exceto no ponto .

Passo 5

No ponto , a função não está definida porque o argumento do logaritmo seria zero, e o logaritmo de zero não existe. Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.
Para todos os outros pontos onde , as derivadas parciais existem e são contínuas. Isso implica que a função é diferenciável em todo lugar, exceto no ponto .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos onde , ou seja, em todo o domínio menos no ponto , onde a função não está definida.

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