As funções dadas são diferenciáveis? Justifique oportunamente.
b)
,
b)
Passo 1
Vamos analisar se a função dada é diferenciável. A função que vamos estudar é:
Para verificar a diferenciabilidade, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e quais ferramentas da matemática vamos usar para isso, como derivadas parciais e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a função como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção.
Primeiro, derivada parcial em relação a
:
Em seguida, derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Para a função ser diferenciável em um ponto, as derivadas parciais devem existir e ser contínuas nesse ponto. Vamos verificar onde as derivadas parciais existem e são contínuas.
Observamos que as derivadas parciais
e
estão definidas para todos os pontos onde
, ou seja, exceto no ponto
.
Passo 5
No ponto
, a função
não está definida porque o argumento do logaritmo seria zero, e o logaritmo de zero não existe. Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.
Para todos os outros pontos onde
, as derivadas parciais existem e são contínuas. Isso implica que a função é diferenciável em todo lugar, exceto no ponto
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos onde
, ou seja, em todo o domínio menos no ponto
, onde a função não está definida.