Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
integral-a^a integral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2 integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2 1raiza^2-x^2-y^2(x^2 z+y^2 z+z^3) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral-a^aintegral-raiza^2-y^2^raiza^2-y^2integral-raiza^2-x^2-y^2^raiza^2-x^2-y^2 x^2 z+y^2 z+z^3raiza^2-x^2-y^2,dz,dx,dy
na região descrita pela esfera de raio a, usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi, dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Além disso,
raiza^2 - x^2 - y^2 = raiza^2 - rho^2sin^2phi,
e
x^2 z + y^2 z + z^3 = z,(x^2+y^2+z^2) = rho^2,z = rho^3cosphi
Logo o integrando fica
rho^3cosphiraiza^2-rho^2sin^2phi ;rho^2sinphi = rho^5sinphicosphiraiza^2-rho^2sin^2phi
Assim a integral é
integral0^2pi!integral0^pi!integral0^a rho^5sinphicosphiraiza^2-rho^2sin^2phi ,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Observe que o fator sinphicosphi é ímpar sob a troca phimapstopi-phi, enquanto o restante do integrando e os limites phiin[0,pi] são simétricos. Logo
integral0^pisinphicosphi,g(rho,phi),dphi = 0
para qualquer função g, e a integral total se anula.

Resposta

0

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