Considere o sólido S limitado por z=raizx^2+y^2 e z=h, com h>0. Esboce o gráfico e monte as integrais triplas para o cálculo do volume de S, usando:
Coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado abaixo pela superfície cônica z=raizx^2+y^2 e acima pelo plano z=h, com h>0. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas, usando projeção no plano xy.

Passo 2

Para montar a integral, primeiro encontramos a projeção de S no plano xy. A condição de existência de z válida é
raizx^2+y^2;<=;h
ou seja,
x^2+y^2<= h^2
Logo, a região projetada D é o disco de raio h em xy:
D=(x,y)mid x^2+y^2<= h^2

Passo 3

Em cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia do cone até o plano, isto é,
raizx^2+y^2;<=;z;<=;h

Passo 4

Portanto, a integral tripla que dá o volume V de S em coordenadas cartesianas é
V=integral triplaSdV =integral duplaDl[integralz=raizx^2+y^2^z=hdzr],dx,dy
Escrevendo explicitamente os limites em x e y, temos também
V =integralx=-h^h integraly=-raizh^2-x^2^raizh^2-x^2 l(h-raizx^2+y^2r);dy;dx

Resposta

V =integral duplax^2+y^2<= h^2 l(integralraizx^2+y^2^hdzr),dx,dy ou V =integral-h^h!integral-raizh^2-x^2^raizh^2-x^2!(h-raizx^2+y^2),dy,dx

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