Calcule a massa de um sólido com densidade constante, sabendo que o mesmo é delimitado por z=16-x^2-y^2 e z=0. Esboce os gráficos espacial e plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a massa de um sólido que tem densidade constante. O sólido está limitado pelas superfícies z = 16 - x^2 - y^2 e z = 0 . Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre cálculo de volumes usando integrais múltiplas e entender como a densidade afeta a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do sólido. A equação z = 16 - x^2 - y^2 representa um paraboloide que se abre para baixo. Quando z = 0 , temos x^2 + y^2 = 16 , que é um círculo de raio 4 no plano xy . Então, o sólido é formado pela região abaixo desse paraboloide e acima do plano z = 0 .

Passo 3

Como a densidade é constante, a massa do sólido pode ser calculada multiplicando a densidade ( rho ) pelo volume do sólido ( V ). Ou seja:
Massa = rho times V
Então, nosso próximo passo é calcular o volume V desse paraboloide.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que a base do sólido é um círculo. Em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta , e a área diferencial dA = r , dr , dtheta .
A altura do paraboloide em qualquer ponto (r, theta) é dada por z = 16 - r^2 .

Passo 5

A integral para o volume V será:
V = integral0^2pi integral0^4 integral0^16 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em z :
integral0^16 - r^2 dz = 16 - r^2
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^4 (16 - r^2) r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em r :
integral0^4 (16r - r^3) , dr = [ 8r^2 - 14r^4 ]0^4 = ( 8 times 16 - 14 times 256 ) = 128 - 64 = 64
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi 64 , dtheta = 64 times 2pi = 128pi

Passo 7

Agora que temos o volume, basta multiplicar pela densidade para encontrar a massa:
Massa = rho times 128pi

Resposta

A massa do sólido é 128pi vezes a densidade constante, ou seja:
Massa = 128pi , rho

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