Calcule a massa de um sólido com densidade constante, sabendo que o mesmo é delimitado por
e
. Esboce os gráficos espacial e plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a massa de um sólido que tem densidade constante. O sólido está limitado pelas superfícies
e
. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre cálculo de volumes usando integrais múltiplas e entender como a densidade afeta a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do sólido. A equação
representa um paraboloide que se abre para baixo. Quando
, temos
, que é um círculo de raio 4 no plano
. Então, o sólido é formado pela região abaixo desse paraboloide e acima do plano
.
Passo 3
Como a densidade é constante, a massa do sólido pode ser calculada multiplicando a densidade (
) pelo volume do sólido (
). Ou seja:
Então, nosso próximo passo é calcular o volume
desse paraboloide.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que a base do sólido é um círculo. Em coordenadas polares,
e
, e a área diferencial
.
A altura do paraboloide em qualquer ponto
é dada por
.
Passo 5
A integral para o volume
será:
Vamos integrar primeiro em
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora que temos o volume, basta multiplicar pela densidade para encontrar a massa:
Resposta
A massa do sólido é
vezes a densidade constante, ou seja: