Considere o sólido S limitado por z=raizx^2+y^2 e z=h, com h>0. Esboce o gráfico e monte as integrais triplas para o cálculo do volume de S, usando:
Coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado abaixo pela superfície cônica
z = raizx^2+y^2
e acima pelo plano
z = h,
com h>0.
O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas cilíndricas e uso do jacobiano para montar a integral tripla que calcula V(S).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com jacobiano igual a r.
A superfície z = raizx^2+y^2 vira z = r.
A interseção com z = h ocorre quando r = h.
Logo os limites são
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= h, r <= z <= h

Passo 3

Montando a integral tripla para o volume, temos
V =integraltheta=0^2pi integralr=0^h integralz=r^h ;r;dz,dr,dtheta

Passo 4

Se quisermos calcular explicitamente, primeiro integramos em z:
integralz=r^hr,dz =rl[h - rr]
Depois integramos em r e em theta:
V =integral0^2pi!dtheta integral0^hr,(h-r),dr =2piintegral0^h(hr - r^2),dr =2pil[tfrach2r^2 - tfrac13r^3r]0^h =pi h^33

Resposta

V =integral0^2pi integral0^h integralr^h r;dz,dr,dtheta =pi h^33

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