Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
* integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^2integral0^raiz4-y^2integral0^raiz4-x^2-y^21x^2+y^2+z^2,dz,dx,dy
no primeiro octante da esfera de raio 2. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar, pois a região é dada por x^2+y^2+z^2<=4, x,y,z>=0 e o integrando depende apenas de r^2=x^2+y^2+z^2.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
com Jacobiano
dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
Na primeira octante temos
0 <= r <= 2, 0 <= phi <= pi2, 0 <= theta <= pi2

Passo 3

O integrando em esféricas fica
1x^2+y^2+z^2 = 1r^2,
então o produto com o Jacobiano é
1r^2;r^2sinphi = sinphi
Logo a integral original vira
integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2integralr=0^2 sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^2dr = 2
Então a integral reduz-se a
2integral0^pi/2integral0^pi/2sinphi,dphi,dtheta

Passo 5

Agora integramos em phi:
integral0^pi/2sinphi,dphi = l[-cosphir]0^pi/2 = 1
Então resta
2 cdot 1 integral0^pi/2dtheta

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
integral0^pi/2dtheta = pi2
Multiplicando tudo,
2 times 1 times pi2 = pi

Resposta

pi

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