Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
no primeiro octante da esfera de raio
. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar, pois a região é dada por
,
e o integrando depende apenas de
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com Jacobiano
Na primeira octante temos
Passo 3
O integrando em esféricas fica
então o produto com o Jacobiano é
Logo a integral original vira
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Então a integral reduz-se a
Passo 5
Agora integramos em
:
Então resta
Passo 6
Por fim, integramos em
:
Multiplicando tudo,