Determine o campo vetorial gradiente ∇ f de f e o esboce.
f(x, y)=x^2-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo vetorial gradiente de
f(x,y)=x^2-y
e esboçar esse campo. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e definição de gradiente em funções de duas variáveis.

Passo 2

Lembrando a definição: o gradiente de uma função f(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f. Ou seja,
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^2-y.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=2x
e a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=-1

Passo 4

Substituindo na definição de gradiente, obtemos
nabla f(x,y)=(2x,,-1)

Passo 5

Para esboçar nabla f no plano, note que em cada ponto (x,y) o vetor tem componente horizontal 2x e vertical -1.
  • Se x>0, o vetor aponta para a direita e para baixo.
  • Se x<0, aponta para a esquerda e para baixo.
  • Se x=0, aponta puramente para baixo com comprimento 1.
    A magnitude cresce conforme lvert xrvert aumenta. No desenho, basta marcar alguns pontos (por exemplo x=-1,0,1) e desenhar vetores como descrito, reproduzindo esse comportamento.

Resposta

nabla f(x,y)=(2x,,-1)

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