Determine o campo vetorial gradiente
de
e o esboce.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o campo vetorial gradiente de
e esboçar esse campo. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e definição de gradiente em funções de duas variáveis.
Passo 2
Lembrando a definição: o gradiente de uma função
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
e a derivada parcial em relação a
é
Passo 4
Substituindo na definição de gradiente, obtemos
Passo 5
Para esboçar
no plano, note que em cada ponto
o vetor tem componente horizontal
e vertical
.
- Se
, o vetor aponta para a direita e para baixo. - Se
, aponta para a esquerda e para baixo. - Se
, aponta puramente para baixo com comprimento 1.
A magnitude cresce conformeaumenta. No desenho, basta marcar alguns pontos (por exemplo ) e desenhar vetores como descrito, reproduzindo esse comportamento.