(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
Isso significa que precisamos encontrar uma função
que satisfaça essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Adicionando
nos dois lados, temos:
Isso deixa a equação em uma forma mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. A ideia é conseguir escrever tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro. A equação fica:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Pronto! Agora temos as variáveis separadas.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução. Começamos pela parte da esquerda:
Para integrar isso, usamos frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Resolvendo, descobrimos que
e
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição
, então
, o que dá:
Portanto, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.