(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
y^prime-y=y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
y^prime - y = y^3
Isso significa que precisamos encontrar uma função y(x) que satisfaça essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar y^prime isolado. A equação original é:
y^prime - y = y^3
Adicionando y nos dois lados, temos:
y^prime = y + y^3
Isso deixa a equação em uma forma mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x . A ideia é conseguir escrever tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro. A equação fica:
dydx = y(1 + y^2)
Dividindo ambos os lados por y(1 + y^2) , obtemos:
1y(1 + y^2) , dy = dx
Pronto! Agora temos as variáveis separadas.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução. Começamos pela parte da esquerda:
integral 1y(1 + y^2) , dy
Para integrar isso, usamos frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1y(1 + y^2) = Ay + B y1 + y^2
Resolvendo, descobrimos que A = 1 e B = -1 . Então, a integral fica:
integral ( 1y - y1 + y^2 ) dy = integral dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral 1y , dy - integral y1 + y^2 , dy = integral dx
A primeira integral é simples:
ln|y|
Para a segunda integral, fazemos uma substituição u = 1 + y^2 , então du = 2y , dy , o que dá:
12 ln|1 + y^2|
Portanto, juntando tudo:
ln|y| - 12 ln|1 + y^2| = x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
ln|y| - 12 ln|1 + y^2| = x + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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