Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve coordenadas cartesianas. A questão pede para transformar essa integral para coordenadas esféricas. A matéria aqui é cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar o jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é descrito por três parâmetros:
(distância do ponto à origem),
(ângulo no plano
) e
(ângulo em relação ao eixo
). As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
Observamos que os limites indicam que estamos integrando sobre uma esfera de raio 4 centrada na origem, já que
. Portanto, em coordenadas esféricas,
vai de 0 a 4,
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas. A expressão
se transforma em
, então
. Substituindo tudo na integral:
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Agora, a integral fica:
Integrando em
:
Então, temos:
Resposta
O valor da integral é
.