Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
41.
integral-2^2 integral-raiz4^2-x^2^raiz4^2-x^2 integral-raiz4-x^2-y^2^raiz4^2-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve coordenadas cartesianas. A questão pede para transformar essa integral para coordenadas esféricas. A matéria aqui é cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e usar o jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto é descrito por três parâmetros: x = r sinphi costheta (distância do ponto à origem), y = r sinphi sintheta (ângulo no plano z = r cosphi ) e dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta (ângulo em relação ao eixo ). As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração na integral original:
integral-2^2 integral-raiz4^2-x^2^raiz4^2-x^2 integral-raiz4-x^2-y^2^raiz4^2-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 dz , dx , dy
Observamos que os limites indicam que estamos integrando sobre uma esfera de raio 4 centrada na origem, já que . Portanto, em coordenadas esféricas, vai de 0 a 4, de 0 a e de 0 a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em coordenadas esféricas. A expressão integral0^2pi integral0^pi integral0^4 r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi integral0^4 r^5 sinphi , dr , dphi , dtheta se transforma em integral0^4 r^5 , dr = [ r^66 ]0^4 = 4^66 = 40966 = 20483 , então 20483 integral0^2pi integral0^pi sinphi , dphi , dtheta . Substituindo tudo na integral:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = 2
Vamos resolver a integral em 20483 cdot 2 integral0^2pi dtheta = 40963 cdot 2pi = 4096 cdot 2pi3 = 8192pi3 primeiro:
Agora, a integral fica:
Integrando em :
Então, temos:

Resposta

O valor da integral é .

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