Determine as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis. A função dada é:
Queremos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
, no ponto
. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e entender o que é uma derivada parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
significa que tratamos
como uma constante e diferenciamos apenas em relação a
.
Nossa função é:
Vamos derivar isso em relação a
. A derivada da função seno é o cosseno, então aplicando a regra da cadeia, temos:
Agora, vamos derivar
em relação a
. Como
é considerado constante, a derivada de
em relação a
é 1 e a derivada de
é 0. Então:
Portanto, a derivada parcial fica:
Passo 3
Agora que temos a expressão da derivada parcial, vamos calcular o valor no ponto específico
. Substituindo
e
na expressão:
Sabemos que:
Resposta
Então, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é: