Determine as derivadas parciais indicadas.
z=x^3+y^3x^2+y^2, partial zpartial x, partial zpartial y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso envolve cálculo de derivadas parciais usando a regra do quociente. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada parcial. Quando derivamos partialpartial x ( uv ) = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2 em relação a , tratamos como uma constante, e vice-versa. Para funções que são quocientes, usamos a regra do quociente, que é assim:

Passo 3

Vamos aplicar essa regra para encontrar partial upartial x = 3x^2 .
Aqui, partial vpartial x = 2x e .
Primeiro, derivamos e em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
partial zpartial x = (x^2 + y^2) cdot 3x^2 - (x^3 + y^3) cdot 2x(x^2 + y^2)^2
Vamos simplificar o numerador:
3x^2(x^2 + y^2) - 2x(x^3 + y^3) = 3x^4 + 3x^2y^2 - 2x^4 - 2xy^3 = x^4 + 3x^2y^2 - 2xy^3
Então:
partial zpartial x = x^4 + 3x^2y^2 - 2xy^3(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar partial upartial y = 3y^2 seguindo o mesmo processo.
Derivando partial vpartial y = 2y e partial zpartial y = (x^2 + y^2) cdot 3y^2 - (x^3 + y^3) cdot 2y(x^2 + y^2)^2 em relação a 3y^2(x^2 + y^2) - 2y(x^3 + y^3) = 3x^2y^2 + 3y^4 - 2x^3y - 2y^4 = 3x^2y^2 + y^4 - 2x^3y :
partial zpartial y = 3x^2y^2 + y^4 - 2x^3y(x^2 + y^2)^2
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = x^4 + 3x^2y^2 - 2xy^3(x^2 + y^2)^2
e
partial zpartial y = 3x^2y^2 + y^4 - 2x^3y(x^2 + y^2)^2

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