Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{3}}}^{\sqrt{2-x^{3}-y^{3}}} x y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}\!\int_{\sqrt{x^{2}+y^{3}}}^{\sqrt{2 - x^{3}-y^{3}}}x\,y\;dz\;dy\;dx
usando coordenadas esféricas. Em mudança para esféricas, esperamos que os limites de integração descrevam uma região bem definida em termos de \rho, \theta e \varphi, onde
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,
e o jacobiano é \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 2

Entretanto, observando os limites originais vemos que:
  • O limite de z (a variável interna) depende de x e y: isso é correto para dz.
  • Mas o limite de y (a variável do meio) depende de z, i.e.\ aparece \sqrt{1 - z^{2}}. Isso é impossível, pois z já teria sido integrado no passo anterior.
  • O limite externo de x é de 0 a 1, o que é coerente, mas não resolve a contradição anterior.

Passo 3

Como os limites de integração em y dependem de z (que é a variável interna), e ao mesmo tempo os limites de z dependem de y, não há uma ordem de integração bem-definida. Em consequência, não é possível descrever claramente a região de integração nem traduzi-la em coordenadas esféricas.

Resposta

Não há como resolver a integral, pois os limites de integração são inconsistentes entre si e não descrevem uma região bem-definida para aplicar coordenadas esféricas.

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