Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando coordenadas esféricas. Em mudança para esféricas, esperamos que os limites de integração descrevam uma região bem definida em termos de
,
e
, onde
e o jacobiano é
.
Passo 2
Entretanto, observando os limites originais vemos que:
- O limite de
(a variável interna) depende de e : isso é correto para . - Mas o limite de
(a variável do meio) depende de , i.e.\ aparece . Isso é impossível, pois já teria sido integrado no passo anterior. - O limite externo de
é de a , o que é coerente, mas não resolve a contradição anterior.
Passo 3
Como os limites de integração em
dependem de
(que é a variável interna), e ao mesmo tempo os limites de
dependem de
, não há uma ordem de integração bem-definida. Em consequência, não é possível descrever claramente a região de integração nem traduzi-la em coordenadas esféricas.
Resposta
Não há como resolver a integral, pois os limites de integração são inconsistentes entre si e não descrevem uma região bem-definida para aplicar coordenadas esféricas.