No planejamento de um café-restaurante, estima-se que se houver entre 40 e 80 lugares, o lucro diário será de \mathrm{R} \ 8,00 por lugar. Contudo, se a capacidade de assentos ficar acima de 80 lugares, - lucro diário de cada lugar decrescerá emáá\mathrm{R} $0,04 vezes o número de lugares acima de 80 . Seúx for o número de assentos disponíveis, expresse o lucro diário como função deúíáçãx$. Suponha que o lucro não seja negativo.

Passo 1

O enunciado diz que, se o número de assentos x ficar entre 40 e 80, o lucro é de \mathrm{R}\$\;8{,}00 por assento, e se x>80 cada assento rende \mathrm{R}\$\;\bigl(8 - 0{,}04\,(x-80)\bigr). Queremos montar uma função pedaço-a-pedaço L(x) que dê o lucro total diário, e depois impor que L(x)\ge0.

Passo 2

Para 40\le x\le 80, o lucro por assento é constante em \mathrm{R}\$\;8. Logo o lucro total é
L(x)=8\,x\,.

Passo 3

Para x>80, o lucro por assento cai em 0{,}04 para cada lugar acima de 80, isto é,
\text{lucro por assento} = 8 - 0{,}04\,(x-80) = 8 - 0{,}04x + 0{,}04\cdot80 = 11{,}2 - 0{,}04x.
Multiplicando pelo número de assentos x, o lucro total fica
L(x)=x\bigl(11{,}2 - 0{,}04x\bigr) =-0{,}04\,x^2 + 11{,}2\,x.

Passo 4

Impondo L(x)\ge0 no ramo quadrático:
-0{,}04\,x^2 + 11{,}2\,x \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; 0{,}04\,x\,(280 - x)\ge0 \;\Longleftrightarrow\; 0\le x\le280.
Como já estamos no caso x>80, isso restringe a 80< x\le280.

Resposta

A função lucro diário L(x), considerando que não fica negativa, é
L(x)= \begin{cases} 8\,x\,,&40\le x\le80,\\\\ -0{,}04\,x^2 +11{,}2\,x\,,&80< x\le280,\\\\ 0\,,&\text{caso contrário (lucro nulo).} \end{cases}á

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