Sejam f(x, y)=x^{2}+y^{2} e \bar{g}(t)=\left(e^{t}, e^{-t}\right). Calcule \partial(f \circ g)(t) / \partial t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de (f\circ \bar g)(t), onde \;f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é dada por
f(x,y)=x^2+y^2
e \;\bar g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 é \bar g(t)=(e^t,e^{-t}).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{d}{dt}f\bigl(g(t)\bigr) =\frac{\partial f}{\partial x}(g(t))\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}(g(t))\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=x^2+y^2,
temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.

Passo 3

Agora derivamos as componentes de \bar g(t). Se \bar g(t)=(x(t),y(t))=(e^t,e^{-t}), então
\frac{dx}{dt}=e^t, \quad \frac{dy}{dt}=-e^{-t}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, avaliamos as parciais em \bar g(t) e fazemos o produto escalar:
\frac{d}{dt}f\bigl(\bar g(t)\bigr) =(2x,2y)\Big|_{(x,y)=(e^t,e^{-t})}\cdot\bigl(e^t,\,-e^{-t}\bigr) =(2e^t,2e^{-t})\cdot\bigl(e^t,\,-e^{-t}\bigr).
Fazendo o produto escalar resulta
2e^t\cdot e^t \;+\;2e^{-t}\cdot(-e^{-t}) =2e^{2t}-2e^{-2t}.

Resposta

\frac{\partial\bigl(f\circ \bar g\bigr)(t)}{\partial t} =2e^{2t}-2e^{-2t}.

Exercícios relacionados