Utilize coordenadas esféricas para calcular , onde está entre as esferas e no primeiro octante.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral tripla de sobre a região . A região está localizada no primeiro octante (onde são positivos) e está situada entre duas esferas: uma de raio 1 () e outra de raio 3 (). Para resolver esse problema, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para integrar sobre regiões esféricas como essa. Vamos precisar das fórmulas de transformação para coordenadas esféricas e entender como configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas :
Nesta configuração:
é a distância do ponto à origem.
é o ângulo no plano (azimutal), variando de a no primeiro octante.
é o ângulo do eixo (polar), também variando de a no primeiro octante.
Passo 3
Identificamos os limites de integração para cada coordenada:
Para : A região está entre as esferas de raio 1 e 3, então varia de 1 a 3.
Para : No primeiro octante, varia de a .
Para : Também no primeiro octante, varia de a .
Passo 4
A fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas inclui o fator jacobiano integral triplaW z^2 , dV = integralr=1^3 integralphi=0^pi2 integraltheta=0^pi2 (z^2) cdot r^2 sinphi , dtheta , dphi , dr . Portanto, nossa integral fica:
integral triplaW z^2 , dV = integral1^3 integral0^pi2 integral0^pi2 r^2 cos^2phi cdot r^2 sinphi , dtheta , dphi , dr
Sabemos que integral triplaW z^2 , dV = integral1^3 integral0^pi2 integral0^pi2 r^4 cos^2phi sinphi , dtheta , dphi , dr , então . Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral começando pela mais interna, que é em relação a integral0^pi2 dtheta = [ theta ]0^pi2 = pi2 :
integral triplaW z^2 , dV = pi2 integral1^3 integral0^pi2 r^4 cos^2phi sinphi , dphi , dr
Então, nossa integral agora é:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em relação a integral0^pi2 cos^2phi sinphi , dphi :
-integral1^0 u^2 , du = integral0^1 u^2 , du = [ u^33 ]0^1 = 13
Fazendo uma substituição simples:
Deixe integral triplaW z^2 , dV = pi2 cdot 13 integral1^3 r^4 , dr = pi6 integral1^3 r^4 , dr , então .
Quando , .
Quando , .
A integral se transforma em:
Então, agora temos:
Passo 7
Finalmente, resolvemos a integral em relação a integral1^3 r^4 , dr = [ r^55 ]1^3 = 3^55 - 1^55 = 2435 - 15 = 2425 :
integral triplaW z^2 , dV = pi6 cdot 2425 = 242pi30 = 121pi15