Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o sólido delimitado pelo plano z=0 e pela desfera z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
\iint_{E} \int z d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} z\,dV
onde E é o sólido abaixo da “desfera” z=\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}} e acima do plano z=0.
O conteúdo aqui é o uso de coordenadas cilíndricas para integrar funções em domínios de revolução.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas tomamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com r\ge0, \theta\in[0,2\pi] e z variando de 0 até \sqrt{4-r^2}. O elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Logo a integral vira
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2}\!\int_{z=0}^{\sqrt{4-r^2}} z\;(r\,dz\,dr\,d\theta).

Passo 3

Calcular primeiro a integral em z:
\int_{0}^{\sqrt{4-r^2}} z\,dz = \left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-r^2}} = \frac{4 - r^2}{2}.
Assim o integrando conjunto z\cdot r em dz fica
r\cdot\frac{4 - r^2}{2}.

Passo 4

Agora integramos em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta \;\times\; \int_{0}^{2} r\,\frac{4 - r^2}{2}\,dr = 2\pi\;\int_{0}^{2}\frac{4r - r^3}{2}\,dr = \pi\;\int_{0}^{2}(4r - r^3)\,dr.

Passo 5

Executando a integral em r:
\int_{0}^{2}(4r - r^3)\,dr = \left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{2} = \bigl(2\cdot4 - \tfrac{16}{4}\bigr) = 8 - 4 = 4.
Multiplicando por \pi obtemos
\pi \times 4 = 4\pi.

Resposta

\iiint_{E} z\,dV = 4\pi.

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