Considere f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{3}+y^{3}}. Entäo:
2(\mathrm{a}) Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) nào existe.
(b) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de f

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{3}+y^{3}}
e pede:
– (a) mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe;
– (b) calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f.
Para (a) vamos usar aproximação por retas y=mx; para (b) aplicamos a regra do quociente.

Passo 2

Escolhemos a reta y=mx com m\neq -1. Então
f(x,mx) =\frac{x^{2}(mx)}{x^{3}+(mx)^{3}} =\frac{m\,x^{3}}{x^{3}(1+m^{3})} =\frac{m}{1+m^{3}}.
Como esse valor depende de m, o limite ao longo de diferentes retas muda. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe.

Passo 3

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} definimos
u(x,y)=x^{2}y, \quad v(x,y)=x^{3}+y^{3}.
Temos
u_{x}=2xy, \quad v_{x}=3x^{2},
e pela regra do quociente
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_{x}v - u\,v_{x}}{v^{2}} =\frac{2xy\,(x^{3}+y^{3}) - x^{2}y\,(3x^{2})}{(x^{3}+y^{3})^{2}} =\frac{x y\,(2y^{3}-x^{3})}{(x^{3}+y^{3})^{2}}.

Passo 4

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} calculamos
u_{y}=x^{2}, \quad v_{y}=3y^{2},
e pela mesma regra
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_{y}v - u\,v_{y}}{v^{2}} =\frac{x^{2}\,(x^{3}+y^{3}) - x^{2}y\,(3y^{2})}{(x^{3}+y^{3})^{2}} =\frac{x^{2}\,(x^{3}-2y^{3})}{(x^{3}+y^{3})^{2}}.

Resposta

O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{x y\,(2y^{3}-x^{3})}{(x^{3}+y^{3})^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x^{2}\,(x^{3}-2y^{3})}{(x^{3}+y^{3})^{2}}.

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