Represente uma das seguintes integrais indefinidas como séries de potências:
\int e{-x{2}} dx

Passo 1

O enunciado nos pede para escrever a primitiva de \mathrm e^{-x^2} como série de potências centrada em zero. O conteúdo que vamos usar é a expansão de Maclaurin de \mathrm e^u e a integração termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Começamos lembrando que, para todo u,
\mathrm e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}.
Fazendo u=-x^2, obtemos a expansão de \mathrm e^{-x^2}:
\mathrm e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^{2n}.

Passo 3

Como essa série converge para todo x (raio de convergência infinito), podemos integrar termo a termo:
\int \mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^{2n}\,\mathrm dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,\int x^{2n}\,\mathrm dx.
Cada termo integra como
\int x^{2n}\,\mathrm dx = \frac{x^{2n+1}}{2n+1},
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\int \mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C.

Passo 4

Concluímos que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!\,(2n+1)}\,x^{2n+1}
é a representação em série de potências de \int \mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx, válida para todo x. O C é a constante de integração.

Resposta

\int \mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!\,(2n+1)}\,x^{2n+1} + C.

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