Exercício 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo Y, da região limitada pelas curvas.
y=x^{3}, \quad x=0, \quad y=8,

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo Y a região limitada por \,y = x^3, \,x = 0 e \,y = 8. O conteúdo é cálculo de sólidos de revolução; aqui usaremos o método das cascas cilíndricas (shells), pois gira-se em torno do eixo vertical Y.

Passo 2

Para entender a região, buscamos a interseção de \,y = x^3 com \,y = 8.
x^3 = 8 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 2.
Logo, na projeção no plano xy temos x variando de 0 a 2, e para cada x a região estende-se de y = x^3 até y = 8.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, uma lâmina vertical em x gera volume elementar
dV = 2\pi \times (\text{raio}) \times (\text{altura}) \times dx = 2\pi\,x\bigl(8 - x^3\bigr)\,dx.
Assim o volume total é
V = 2\pi \int_{0}^{2} x\bigl(8 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{2} \bigl(8x - x^4\bigr)\,dx = \left[4x^2 - \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{2} = 4\cdot 2^2 - \frac{2^5}{5} = 16 - \frac{32}{5} = \frac{80 - 32}{5} = \frac{48}{5}.
Portanto,
V = 2\pi \times \frac{48}{5} = \frac{96\pi}{5}.

Resposta

\frac{96\pi}{5}

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