Onsidere a função f(x, y)=y^{4}-8 y^{2}+2 x^{3}-6 x+1.
(a) Encontre a equação do plano tangente à f no ponto P=(1,2)
(b) Encontre a derivada direcional de f no ponto P=(1,2) na direção de \vec{v}=(4,3)
(c) Encontre os pontos críticos de f e classifique-os.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=y^{4}-8y^{2}+2x^{3}-6x+1
e pede: (a) o plano tangente em P=(1,2); (b) a derivada direcional em P na direção de \vec v=(4,3); (c) os pontos críticos e sua classificação.
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem para obter o gradiente (usado no plano e na derivada direcional) e as derivadas de segunda ordem para a classificação dos pontos críticos via determinante da Hessiana.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}-6, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-16y.
Em P=(1,2) temos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=6\cdot1^{2}-6=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=4\cdot2^{3}-16\cdot2=32-32=0.

Passo 3

O plano tangente a z=f(x,y) em P é dado por
z=f(1,2)+f_{x}(1,2)(x-1)+f_{y}(1,2)(y-2).
Como f_{x}(1,2)=0 e f_{y}(1,2)=0, basta calcular
f(1,2)=2^{4}-8\cdot2^{2}+2\cdot1^{3}-6\cdot1+1 =16-32+2-6+1=-19.
Logo o plano tangente é
z=-19.

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção de \vec v=(4,3) é
D_{\vec u}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \vec u,
onde \vec u=\displaystyle\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=(4,3)/5 e \nabla f(1,2)=(0,0).
Portanto
D_{\vec u}f(1,2)=(0,0)\cdot\bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\bigr)=0.

Passo 5

Os pontos críticos satisfazem \nabla f(x,y)=(0,0). Resolve-se
6x^{2}-6=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1,
4y^{3}-16y=4y(y^{2}-4)=0\quad\Longrightarrow\quad y=0,\pm2.
Assim os pontos críticos são (\pm1,0), (\pm1,2) e (\pm1,-2).

Passo 6

Para classificar usamos a Hessiana:
f_{xx}=12x,\quad f_{yy}=12y^{2}-16,\quad f_{xy}=0,
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=12x\,(12y^{2}-16).
Avaliando cada ponto:
  • Em (1,2): f_{xx}=12, f_{yy}=32, D=384>0 e f_{xx}>0 \;\Rightarrow mínimo local.
  • Em (1,-2): f_{xx}=12, f_{yy}=32, D=384>0 e f_{xx}>0 \;\Rightarrow mínimo local.
  • Em (-1,0): f_{xx}=-12, f_{yy}=-16, D=192>0 e f_{xx}<0 \;\Rightarrow máximo local.
  • Em (1,0): f_{xx}=12, f_{yy}=-16, D=-192<0 \;\Rightarrow ponto de sela.
  • Em (-1,2) e (-1,-2): f_{xx}=-12, f_{yy}=32, D=-384<0 \;\Rightarrow pontos de sela.

Resposta

(a) z=-19.
(b) 0.
(c) Pontos críticos e classificação:
(1,2) e (1,-2): mínimos locais;
(-1,0): máximo local;
(1,0), (-1,2) e (-1,-2): selas.

Exercícios relacionados