Onsidere a função
.
(a) Encontre a equação do plano tangente à
no ponto
(b) Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção de
(c) Encontre os pontos críticos de
e classifique-os.
(a) Encontre a equação do plano tangente à
(b) Encontre a derivada direcional de
(c) Encontre os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) o plano tangente em
; (b) a derivada direcional em
na direção de
; (c) os pontos críticos e sua classificação.
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem para obter o gradiente (usado no plano e na derivada direcional) e as derivadas de segunda ordem para a classificação dos pontos críticos via determinante da Hessiana.
Para isso precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem para obter o gradiente (usado no plano e na derivada direcional) e as derivadas de segunda ordem para a classificação dos pontos críticos via determinante da Hessiana.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Em
temos
Passo 3
O plano tangente a
em
é dado por
Como
e
, basta calcular
Logo o plano tangente é
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção de
é
onde
e
.
Portanto
Portanto
Passo 5
Os pontos críticos satisfazem
. Resolve-se
Assim os pontos críticos são
,
e
.
Passo 6
Para classificar usamos a Hessiana:
Avaliando cada ponto:
- Em
: , , e mínimo local. - Em
: , , e mínimo local. - Em
: , , e máximo local. - Em
: , , ponto de sela. - Em
e : , , pontos de sela.
Resposta
(a)
(b)
(c) Pontos críticos e classificação:
e
: mínimos locais;
: máximo local;
,
e
: selas.
(b)
(c) Pontos críticos e classificação: