(4) Calcule a integral tripla abaixo, onde
é o tetraedro sólido delimitado pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o tetraedro sólido limitado pelos planos
,
,
e
O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas e vamos precisar projetar
no plano
para obter os limites de integração.
Passo 2
Para descrever
em integrais iteradas, note que a reta de interseção com o plano
(isto é,
) é
Assim, na projeção no plano
temos
e para cada par
fixo,
varia de
até
Passo 3
A integral fica
Integramos primeiro em
:
Passo 4
Agora integramos em
:
Calculemos o polinômio em
que resulta dessa integral. Após expandir e integrar em
obtemos
Logo a integral dupla em
e
vale
Passo 5
Finalmente integramos em
:
Fazendo a antiderivada e avaliando em
e
chega-se a