(4) Calcule a integral tripla abaixo, onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 4 x+6 y+3 z=12.
5 \quad \iint_{E} \int x^{2} y d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} x^{2}y\,dV
onde E é o tetraedro sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e
4x+6y+3z=12.
O conteúdo é integração múltipla em coordenadas cartesianas e vamos precisar projetar E no plano xy para obter os limites de integração.

Passo 2

Para descrever E em integrais iteradas, note que a reta de interseção com o plano xy (isto é, z=0) é
4x+6y=12\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{12-4x}{6}.
Assim, na projeção no plano xy temos
0\le x\le 3,\quad 0\le y\le \frac{12-4x}{6},
e para cada par (x,y) fixo, z varia de 0 até
z=\frac{12-4x-6y}{3}.

Passo 3

A integral fica
\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{\frac{12-4x}{6}}\int_{z=0}^{\frac{12-4x-6y}{3}} x^{2}y\;dz\,dy\,dx.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{\frac{12-4x-6y}{3}}x^{2}y\,dz = x^{2}y\;\Bigl[\;z\Bigr]_{0}^{\frac{12-4x-6y}{3}} = x^{2}y\;\frac{12-4x-6y}{3} = \frac{x^{2}}{3}\;y\,(12-4x-6y).

Passo 4

Agora integramos em y:
\frac{x^{2}}{3}\int_{0}^{\frac{12-4x}{6}}y\,(12-4x-6y)\,dy.
Calculemos o polinômio em x que resulta dessa integral. Após expandir e integrar em y obtemos
\int_{0}^{\frac{12-4x}{6}}y\,(12-4x-6y)\,dy =8-8x+\frac{8}{3}x^{2}-\frac{8}{27}x^{3}.
Logo a integral dupla em y e z vale
\frac{x^{2}}{3}\Bigl(8-8x+\frac{8}{3}x^{2}-\frac{8}{27}x^{3}\Bigr).

Passo 5

Finalmente integramos em x:
\int_{0}^{3} \frac{x^{2}}{3}\Bigl(8-8x+\tfrac{8}{3}x^{2}-\tfrac{8}{27}x^{3}\Bigr)\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{3}\Bigl(8x^{2}-8x^{3}+\tfrac{8}{3}x^{4}-\tfrac{8}{27}x^{5}\Bigr)dx.
Fazendo a antiderivada e avaliando em 0 e 3 chega-se a
\frac{1}{3}\Bigl(\,18\Bigr)=\frac{6}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{6}{5}.

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